Lösung Musterklassenarbeit Aufgabe 4

a) Falsch. Gegenbeispiel: Für \(0 \in \mathbb{Z}\) ist \(2^0=1<2\).
Alternativ kann man als Gegenbeispiel jeden ganzzahligen Exponenten, der kleiner als 2 ist, nehmen (\(\hdots, -3, -2, -1, 0, 1\)).

b) Falsch. Gegenbeispiel: Für die negative Zahl -1 ergibt sich für die 2. Potenz \((-1)^2=1\), also eine positive Zahl.
Alternativ kann man als Gegenbeispiel jede beliebige negative Zahl als Basis und jede beliebige gerade Zahl als Exponenten wählen.

c) Falsch. Gegenbeispiel: \( 2^{-1}=\frac{1}{2^1}=\frac{1}{2}>0\).
Alternativ kann man als Gegenbeispiel jede beliebige positive Zahl als Basis und jede beliebige negative Zahl als Exponenten nehmen.

d) Wahr. Für zwei beliebige Kubikwurzelterme \(\sqrt[3]{x}\) und \(\sqrt[3]{y}\) gilt \(\sqrt[3]{x}\cdot \sqrt[3]y = \sqrt[3]{xy}\), was wieder ein Kubikwurzelterm ist.

e) Falsch. Gegenbeispiel: \(0,5^2=0,25>0,5^3=0,125\)
Alternativ kann man als Gegenbeispiel jede beliebige Zahl wählen, die im Intervall \(]0;1]\) liegt.