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Lösung Musterklassenarbeit Aufgabe 5

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2025/05/22 20:39

a) Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt, dass die linke Seite der Gleichung genau dann 0 ist, wenn einer der beiden Faktoren 0 ist.
Der Faktor \((2x-2)\) wird 0 für \(x=1\) (\(2x-2=0 \ \Leftrightarrow \ 2x=2 \ \Leftrightarrow \ x=1\)).
Der Faktor \((x+4)\) wird 0 für \(x=-4\) (\(x+4=0 \ \Leftrightarrow \ x=-4\)).

Somit sind die Lösungen der Gleichung \(x_1=1\) und \(x_2=-4\) jeweils mit Vielfachheit 1.

b)

\[\begin{align} (x+3)^2 &=25 \quad \quad \ \mid \pm \sqrt \\ \Leftrightarrow \ \quad \quad x+3 &=\pm 5 \quad \quad \mid -3 \\ \Leftrightarrow x_1 =2; \ x_2 &= -8 \end{align}\]

Die Lösungen der Gleichung sind 2 und -8 jeweils mit Vielfachheit 1.

c)

\[\begin{align} & \quad \quad 3x^2+4 &&=\frac{1}{2}x+4 \quad \mid -4 \\ & \Leftrightarrow 3x^2 &&=\frac{1}{2}x \quad \ \ \quad \mid -\frac{1}{2}x \\ & \Leftrightarrow 3x^2 -\frac{1}{2}x &&= 0 \\ & \Leftrightarrow x \left(3x-\frac{1}{2}\right) &&=0 \end{align}\]

Mit dem Satz vom Nullprodukt ergibt sich \(x_1=0\) und \(x_2=\frac{1}{6}\) (\( 3x-\frac{1}{2}=0 \ \Leftrightarrow \ 3x=\frac{1}{2} \ \Leftrightarrow \ x=\frac{1}{6}\)).
Die Lösungen besitzen beide die Vielfachheit 1.

d) Ausmultiplizieren liefert \(x^2(3x^2-10)+3 = 3x^4-10x^2+3 = 0\).
Nun substituieren wir \(x^2\) mit \(z\), wodurch wir die Gleichung \(3z^2-10z+3=0\) erhalten, auf die sich die abc-Formel (bzw. nach Division durch 3 die pq-Formel) anwenden lässt:

\[\begin{align} z_{1,2} &=\frac{10\pm\sqrt{(-10)^2-4\cdot 3\cdot 3}}{2\cdot 3} \\ &= \frac{10\pm\sqrt{100-36}}{6} \\ &= \frac{10\pm\sqrt{64}}{6} \\ &= \frac{10\pm 8}{6} \end{align}\]

Somit ist \(z_1=\frac{10+8}{6}=3\) und \(z_2=\frac{10-8}{6}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\).

Resubstitution ergibt \(x^2=z \ \Leftrightarrow \ x=\pm\sqrt{z}\) und somit:
\(x_{1,2}=\pm\sqrt{3}\) und \(x_{3,4}= \pm\sqrt{\frac{1}{3}}\).

Die Nullstellen besitzen jeweils die Vielfachheit 1.