Lösung Musterklassenarbeit Aufgabe 6

a) \(f\) besitzt den Grad 4, da die Funktion ausmultipliziert \(f(x)=2x\cdot (x^3-5x^2+6x)=2x^4-10x^3+12x^2\) ist und der Grad einer Polynomfunktion dem höchsten vorkommenden Exponenten von \(x\) entspricht. Die Vergleichsfunktion  \(g\) ist somit  \(g(x)=2x^4\).

b) Da der Grad von \(f\) gerade ist und der Vorfaktor des führenden Exponenten (2) positiv ist, gilt für das Verhalten:
Für \(x\rightarrow \infty\) geht \(f(x)\rightarrow \infty\).
Für \(x\rightarrow -\infty\) geht \(f(x)\rightarrow \infty\).

c) Da sowohl negative als auch positive Exponenten vorkommen, liegt keine Symmetrie vor.

(Alternativ: \(f(-x)= 2(-x)^4-10(-x)^3+12(-x)^2=2x^4+10x^3+12x^2 \neq f(x) \ \text{oder} \ -f(x)\))

d) Wir setzen \(f(x)=0\): \(f(x)=2x\cdot (x^3-5x^2+6x)=0 \)
und sehen mit dem Satz vom Nullprodukt direkt, dass die linke Seite 0 wird für \(x=0\).

Nun schauen wir, wann der Faktor \((x^3-5x^2+6x)=0\) wird.
\(x^3-5x^2+6x=0 \ \Leftrightarrow \ x(x^2-5x+6)=0\). Mit dem Satz vom Nullprodukt, ergibt sich wieder \(x=0\).
Um zu schauen, wann \(x^2-5x+6=0\) gilt, wenden wir die Mitternachtsformel an:

Wir erhalten so die beiden Nullstellen \(x_3= \frac{5+1}{2}=3\) und \(x_4=\frac{5-1}{2}=2\).

Insgesamt erhalten wir die vier Nullstellen \(x_{1,2}=0\) (doppelte Nullstelle), \(x_3=3\) (einfache Nullstelle) und \(x_4=2\) (einfache Nullstelle).

e) Wichtig bei der Skizze sind die Nullstellen und das globale Verhalten. Bei den Nullstellen ist zu beachten, dass an der Stelle \(x=0\) eine doppelte Nullstelle liegt und der Graph die x-Achse somit nur berührt und dass bei den anderen beiden Nullstellen die x-Achse geschnitten wird.