Lösung Funktionstermbestimmung bei Polynomfunktionen

Bestimme einen Funktionsterm einer Polynomfunktion minimalen Grades mit den folgenden Eigenschaften:

1. Das Schaubild hat bei \(x=1\) eine sechsfache Nullstelle und schneidet die y-Achse an der Stelle 4.
   Ansatz mit Produktform, das a erhält man durch Überlegung (gemeinsame Punkte aller Potenzfunktionen) oder durch eine Punktprobe mit \(P(0|4)\)
   \(\Rightarrow f(x)=4(x-1)^6\)

2. Das Schaubild hat bei \(x=-4\) eine einfache, bei \(x=-2\) eine doppelte und bei \(x=3\) eine dreifache Nullstelle. Außerdem schneidet es die y-Achse bei \(y=27\).
   Ansatz mit Produktform, a erhält man durch eine Punktprobe mit \(P(0|27)\)
   \(\Rightarrow f(x)=-\frac{1}{16}(x+4)(x+2)^2(x-3)^3\)

3. Das Schaubild ist symmetrisch zur y-Achse und geht durch \(P(2|10)\) und \(Q(0|0)\).
   \(f(x)=\frac{5}{2}x^2\)

4. Das Schaubild verläuft punktsymmetrisch zum Ursprung. Es hat eine einfache Nullstelle bei \(x=4\) und eine doppelte Nullstelle bei \(x=-3\).
   Z.B. \(f(x)=x(x-4)(x+3)^2(x-3)^2(x+4)\) .. a ist nicht festgelegt