Zum Inhalt springen

Lösung Eigenschaften und Nullstellen

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2025/03/11 13:11

Gegeben ist die Funktion:

$i(x) = (x+2)e^{-x}$

Eigenschaften und Nullstellen.png

Bestimme den Schnittpunkt mit der y-Achse.
$i(0) = (0+2)e^{-0} = 2 \Rightarrow S_y(0|2)$
Berechne die Nullstelle.
$i(x) = 0 \Rightarrow (x+2)e^{-x} = 0 \quad || \quad \text{SVNP}$
$\Rightarrow (x+2) = 0 \wedge e^{-x} = 0 \quad || \quad e^{-x} \neq 0$
$\Rightarrow x = -2$
Beschreibe das globale Verhalten und gib die Gleichung der Asymptoten an.
Dem Schaubild kann man folgendes entnehmen:
für $x \rightarrow -\infty$ gilt: $f(x) \rightarrow -\infty$
für $x \rightarrow \infty$ gilt: $f(x) \rightarrow 0+0$
Ohne Schaubild könnte man alternativ folgende Überlegungen anstellen, wobei die Faktoren zunächst separat betrachtet werden:
für $x \rightarrow -\infty$ gilt:
    $(x+2) \rightarrow -\infty$ linear und
    $e^{-x} \rightarrow +\infty$ exponentiell
   ⊖·⊕=⊖
   also geht das Produkt gegen $-\infty$
für $x \rightarrow \infty$ gilt:
    $(x+2) \rightarrow +\infty$ linear und
    $e^{-x} \rightarrow 0+0$ exponentiell
   ⊕·⊕=⊕
   also geht das Produkt gegen