Lösung Eigenschaften und Nullstellen

Gegeben ist die Funktion:

1. Bestimme den Schnittpunkt mit der y-Achse.
   \(i(0) = (0+2)e^{-0} = 2 \Rightarrow S_y(0|2)\)

2. Berechne die Nullstelle.
   \(i(x) = 0 \Rightarrow (x+2)e^{-x} = 0 \quad || \quad \text{SVNP}\)
   \(\Rightarrow (x+2) = 0 \wedge e^{-x} = 0 \quad || \quad e^{-x} \neq 0\)
   \(\Rightarrow x = -2\)

3. Beschreibe das globale Verhalten und gib die Gleichung der Asymptoten an.
   Dem Schaubild kann man folgendes entnehmen:
   für \(x \rightarrow -\infty\) gilt: \(f(x) \rightarrow -\infty\)
   für \(x \rightarrow \infty\) gilt: \(f(x) \rightarrow 0+0\)

   Ohne Schaubild könnte man alternativ folgende Überlegungen anstellen, wobei die Faktoren zunächst separat betrachtet werden:
   für \(x \rightarrow -\infty\) gilt:
      \((x+2) \rightarrow -\infty\) linear und
      \(e^{-x} \rightarrow +\infty\) exponentiell
      ⊖·⊕=⊖
      also geht das Produkt gegen \(-\infty\)
   für \(x \rightarrow \infty\) gilt:
      \((x+2) \rightarrow +\infty\) linear und
      \(e^{-x} \rightarrow 0+0\) exponentiell
      ⊕·⊕=⊕
      also geht das Produkt gegen \(0+0\)