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Version 161.1 von Kim Fujan am 2025/05/20 16:29
Verstecke letzte Bearbeiter
Holger Engels 27.1 1 {{seiteninhalt/}}
Holger Engels 28.1 2
holger 7.1 3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Logarithmus nutzen, um eine Exponentialgleichung zu lösen
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine geeignete Strategie wählen, um eine gegebene Exponentialgleichung zu lösen
holger 8.1 5 [[Kompetenzen.K1]] Ich kann die Wahl einer Lösungsstrategie für eine Exponentialgleichung begründen
holger 7.1 6 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Exponentialgleichungen algebraisch lösen
martina 9.1 7 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Nullstelle interpretieren
8 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K6]] Ich kann die Lösungen einer Exponentialgleichung als Schnittstelle zweier Funktionen interpretieren
Niklas Wunder 11.1 9
Kim Fujan 130.3 10 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Logarithmieren)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="15"}}
11 Bestimme die Lösungsmenge der Exponentialgleichung:
12 (% class="abc" %)
Kim Fujan 130.4 13
Kim Fujan 130.3 14 1. {{formula}} e^x=3 {{/formula}}
15 1. {{formula}} 2e^x-4=8 {{/formula}}
16 1. {{formula}} 2e^{-0.5x}=6{{/formula}}
17 1. {{formula}} e^x=-5 {{/formula}}
Kim Fujan 130.4 18 1. {{formula}} 4\cdot 5^x=100 {{/formula}}
Kim Fujan 130.3 19 {{/aufgabe}}
20
Kim Fujan 136.1 21 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Satz vom Nullprodukt)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
Kim Fujan 130.3 22 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
23 (% class="abc" %)
Kim Fujan 130.5 24 1. {{formula}} 2x-x^{2}=0 {{/formula}}
Kim Fujan 130.6 25 1. {{formula}} 2e^x-e^{2x}=0 {{/formula}}
26 1. {{formula}} \frac{1}{3}e^x=e^{2x} {{/formula}}
27 1. {{formula}} 3e^{-x}=2e^{2x} {{/formula}}
Kim Fujan 130.3 28 1. {{formula}} 2x^e=x^{2e} {{/formula}}
Kim Fujan 130.5 29
Kim Fujan 130.3 30 {{/aufgabe}}
31
Kim Fujan 136.1 32 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen (Substitution)" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="12"}}
Kim Fujan 130.3 33 Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung:
34 (% class="abc" %)
Kim Fujan 152.1 35 1. {{formula}} x^{2}-2x-3=0 {{/formula}}
36 1. {{formula}} e^{2x}-2e^x-3=0 {{/formula}}
37 1. {{formula}} e^x-2e^{\frac{1}{2}x}-3=0 {{/formula}}
Kim Fujan 151.1 38 1. {{formula}} e^x-2-\frac{8}{e^x}}=0 {{/formula}}
Kim Fujan 130.13 39 1. {{formula}} 2e^{4x}=e^{2x}+3 {{/formula}}
Kim Fujan 130.3 40 {{/aufgabe}}
41
Kim Fujan 130.15 42 {{aufgabe id="Logarithmen auswerten" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
43 Ordne (ohne WTR!) die Terme ihren Werten gemäß den Kästchen über dem Zahlenstrahl zu. Trage dafür die jeweiligen Buchstaben in die Kästchen ein.
44
45 [[image:Logarithmus_neu.svg||width="600px"]]
46
47 (% class="abc" %)
48 1. {{formula}} \log_{10}(0.1) {{/formula}}
49 1. {{formula}} \log_{100}(0.1) {{/formula}}
50 1. {{formula}} \log_{0.1}(0.1) {{/formula}}
51 1. {{formula}} \log_{10}(1000) {{/formula}}
52 1. {{formula}} \log_{10}(50) {{/formula}}
53 1. {{formula}} \log_{0.1}(1000) {{/formula}}
54 1. {{formula}} \log_{10}(1) {{/formula}}
55 1. {{formula}} \log_{100}(10) {{/formula}}
56 1. {{formula}} \log_{10}(10) {{/formula}}
57 {{/aufgabe}}
58
Kim Fujan 130.19 59 {{aufgabe id="Exponentialgleichungen lösen (graphisch versus rechnerisch)" afb="II" kompetenzen="K4,K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="5"}}
Kim Fujan 130.15 60 (% class="abc" %)
Kim Fujan 130.19 61 Ermittle die Lösung der Gleichung {{formula}} e^x = 5 {{/formula}} graphisch und rechnerisch.
Kim Fujan 130.15 62 {{/aufgabe}}
63
Kim Fujan 130.18 64 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen I" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="5"}}
Holger Engels 123.2 65 Nenne jeweils eine passende Gleichung:
66
67 Die Gleichung kann ich nach x auflösen, indem ich …
Martin Rathgeb 55.1 68 (% class="abc" %)
Holger Engels 123.2 69 1. … die Terme auf beiden Seiten durch 5 dividiere und damit die Lösung {{formula}} x = \frac{2}{5} {{/formula}} erhalte.
70 1. … von beiden Termen die 5-te Wurzel ziehe und damit die Lösung {{formula}} x = \sqrt[5]{2} {{/formula}} erhalte.
71 1. … die Terme auf beiden Seiten zur Basis 5 logarithmiere und damit die Lösung {{formula}} x = \log_5(2) {{/formula}} erhalte.
Martin Rathgeb 55.1 72 {{/aufgabe}}
73
Elke Hallmann 122.2 74 {{aufgabe id="Darstellungen zuordnen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="6"}}
Martina Wagner 111.4 75 Ordne zu:
Holger Engels 128.1 76 (% class="border slim" %)
Dirk Tebbe 106.2 77 |Implizite Gleichungen|Explizite Gleichungen|Wertetabellen|Schaubilder
Kim Fujan 135.1 78 |{{formula}} x^{-3} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \frac{1}{\sqrt[3]{8}} {{/formula}}|(((
Dirk Tebbe 108.1 79 |x|0|1|2|3
Dirk Tebbe 110.3 80 |y|1|2|4|8
Dirk Tebbe 109.1 81 )))|[[image:2^xund8.svg||width="200px"]]
Elke Hallmann 112.1 82 |{{formula}} 2^x = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = -\log_{2}(8) {{/formula}} |(((
Dirk Tebbe 110.1 83 |x|0|1|2|3
Kim Fujan 135.1 84 |y|n.d.|1|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{27}{{/formula}}
Elke Hallmann 113.2 85 )))|[[image:2^-xund8.svg||width="200px"]]
Elke Hallmann 112.1 86 |{{formula}} 2^{-x} = 8 {{/formula}}|{{formula}} x = \log_{2}(8) {{/formula}} |(((
Martin Rathgeb 78.4 87 |x|0|1|2|3
Martin Rathgeb 125.1 88 |y|1|{{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{4}{{/formula}}|{{formula}}\frac{1}{8}{{/formula}}
Kim Fujan 157.1 89 )))|[[image:x^-3und8.svg||width="200px"]]
Martin Rathgeb 57.1 90 {{/aufgabe}}
91
Kim Fujan 130.21 92 {{aufgabe id="Gleichungen gemeinsamer Form" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="6"}}
Holger Engels 129.3 93 Die Gleichungen sehen auf den ersten Blick unterschiedlich aus, weisen aber ähnliche Strukturen auf und können alle mithilfe der Substitution gelöst werden. Selbstverständlich gibt es für manche Teilaufgaben auch andere Lösungswege ohne Substitution.
Holger Engels 129.1 94 (%class="abc"%)
95 1. (((
Holger Engels 128.1 96 (%class="border slim"%)
Kim Fujan 130.22 97 |(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-4e^x+3=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 98
Holger Engels 128.1 99 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
Holger Engels 129.2 100 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-4x^e+3=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 101
Holger Engels 128.1 102 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
Kim Fujan 130.22 103 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-4x^{-1}+3=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 104
Holger Engels 128.1 105 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
106 ⬋
107 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-4u+3=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 108 (((
109 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
110 |
111
112
113 )))
114
115 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
Holger Engels 128.1 116 |(%align="center"%)(((⬋
117 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
Holger Engels 129.1 118 (((
119 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
120 |
121
122
123 )))
Holger Engels 128.1 124 )))|(%align="center"%)(((🠗
125 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
Holger Engels 129.1 126 (((
127 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
128 |
129
130
131 )))
Holger Engels 128.1 132 )))|(%align="center"%)(((⬊
133 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
Holger Engels 129.1 134 (((
135 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
136 |
137
138
Holger Engels 128.1 139 )))
Holger Engels 129.1 140 )))
141 )))
142 1. (((
143 (%class="border slim"%)
Holger Engels 129.2 144 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-3x^{-1}=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 145
146 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
Holger Engels 129.2 147 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-3x^e=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 148
149 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
Holger Engels 129.2 150 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-3e^x=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 151
152 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
153 ⬋
154 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-3u=0{{/formula}}
155 (((
156 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
157 |
158
159
160 )))
161
162 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
163 |(%align="center"%)(((⬋
164 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
165 (((
166 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
167 |
168
169
170 )))
171 )))|(%align="center"%)(((🠗
172 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
173 (((
174 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
175 |
176
177
178 )))
179 )))|(%align="center"%)(((⬊
180 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
181 (((
182 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
183 |
184
185
186 )))
187 )))
188 )))
189 1. (((
190 (%class="border slim"%)
Holger Engels 129.2 191 |(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{-2}-2x^{-1}+3=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 192
193 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
Holger Engels 129.2 194 ⬊|(%align="center" width="160"%){{formula}}x^{2e}-2x^e+3=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 195
196 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
Holger Engels 129.2 197 🠗|(%align="center" width="160"%){{formula}}e^{2x}-2e^x+3=0{{/formula}}
Holger Engels 129.1 198
199 {{formula}}u:=\_\_\_{{/formula}}
200 ⬋
201 ||(%align="center"%){{formula}}u^2-2u+3=0{{/formula}}
202 (((
203 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
204 |
205
206
207 )))
208
209 {{formula}}u_1=\_\_\_\quad;\quad u_2=\_\_\_{{/formula}}|
210 |(%align="center"%)(((⬋
211 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
212 (((
213 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
214 |
215
216
217 )))
218 )))|(%align="center"%)(((🠗
219 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
220 (((
221 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
222 |
223
224
225 )))
226 )))|(%align="center"%)(((⬊
227 {{formula}}\_\_\_:=u{{/formula}}
228 (((
229 (%class="border slim" style="width: 100%; margin-bottom: 0px"%)
230 |
231
232
233 )))
234 )))
235 )))
Martin Rathgeb 68.1 236 {{/aufgabe}}
237
Kim Fujan 131.3 238 {{aufgabe id="Gleichungstypen einstudieren" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Elke Hallmann, Martin Rathgeb, Dirk Tebbe, Martina Wagner" cc="BY-SA" zeit="20"}}
Martina Wagner 90.2 239 Bestimme die Lösung der folgenden Gleichungen:
240
241 (% class="border slim " %)
Martin Rathgeb 127.1 242 |Typ 1 (Umkehroperationen)|Typ 2 (Ausklammern)|Typ 3 (Substitution)
Martina Wagner 90.4 243 |{{formula}}x^2 = 2{{/formula}}|{{formula}}x^2-2x = 0{{/formula}}|{{formula}}x^4-40x^2+144 = 0{{/formula}}
Dirk Tebbe 130.1 244 |{{formula}}x^4 = e{{/formula}}|{{formula}}2x^e = x^{2e}{{/formula}}|{{formula}}x^{2e}+x^e+1 = 0{{/formula}}
Martina Wagner 101.2 245 |{{formula}}e^x = e{{/formula}}|{{formula}}2e^x = e^{2x}{{/formula}}|{{formula}}10^{6x}-2\cdot 10^{3x}+1 = 0{{/formula}}
Martina Wagner 103.2 246 |{{formula}}3e^x = \frac{1}{2}e^{-x}{{/formula}}|{{formula}}x\cdot 3^x+4\cdot 3^x = 0{{/formula}}|{{formula}}3e^x-1 = \frac{1}{3}e^{-x}{{/formula}}
Martina Wagner 90.1 247 {{/aufgabe}}
Martina Wagner 90.2 248
Martina Wagner 145.1 249 {{aufgabe id=" Exponentialgleichungen rückwärts lösen" afb="II" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="BY-SA"}}
Martina Wagner 139.1 250 (% class="abc" %)
251 1. ((({{{ }}}
252
253 {{formula}}
254 \begin{align*}
255 \square e^x-\square &= 0\\
256 \square e^x &=\square\quad \left|:\square\\
257 e^x &= \square \\
258 x &= 0
259 \end{align*}
260 {{/formula}}
261 )))
262 1. ((({{{ }}}
Martina Wagner 145.1 263
Martina Wagner 139.1 264 {{formula}}
265 \begin{align*}
Martina Wagner 142.1 266 e^{2x}-\square e^x &= 0 \\
Martina Wagner 155.1 267 e^x \cdot (\square-\square) &= 0 \left|\left| \text{ SVNP }
Martina Wagner 139.1 268 \end{align*}
269 {{/formula}}
270
Martina Wagner 156.1 271 {{formula}}
272 e^x \neq 0 ~und~ e^x-\square = 0{{/formula}}
273 {{formula}} e^x=\square {{/formula}}
Martina Wagner 145.1 274 {{formula}} x =\square {{/formula}}
Martina Wagner 142.1 275 )))
Martina Wagner 145.1 276 1. ((({{{ }}}
Martina Wagner 142.1 277
Martina Wagner 145.1 278 {{formula}}
279 \begin{align*}
Martina Wagner 148.1 280 e^{2x}-\square e^x+\square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Subst.: } e^x:=\square\\
281 z^2-\square z + \square &= 0 \quad \left|\left|\text{ Mitternachtsformel/abc-Formel } &
Martina Wagner 139.1 282 \end{align*}
283 {{/formula}}
284
285 {{formula}}
286 \begin{align*}
287 \Rightarrow z_{1,2}&=\frac{\square\pm\sqrt{\square^2-4\cdot\square\cdot\square}}{2\cdot\square}\\
Martina Wagner 148.1 288 z_{1,2}&=\frac{\square+\square}{\square}
Martina Wagner 139.1 289 \end{align*}
290 {{/formula}}
291
292 {{formula}}
293 \begin{align*}
Martina Wagner 148.1 294 &\text{Resubst.: } z:= e^x\\
295 &e^x=\square \Rightarrow x \approx 0,693147...\\
Martina Wagner 139.1 296 \end{align*}
Martina Wagner 143.1 297 {{/formula}}
Martina Wagner 145.1 298 )))
Martina Wagner 139.1 299 {{/aufgabe}}
300
Kim Fujan 130.20 301 {{aufgabe id="Gleichungen aufstellen II" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Martin Rathgeb, Dirk Tebbe" cc="BY-SA" zeit="10"}}
302 Nenne möglichst viele (wahre) Gleichungen der folgenden Formen, wobei {{formula}} a, b, c \in \{2; 3; 4; \ldots; 16\} {{/formula}} gelten soll:
303 {{formula}} c = a^b\:; \qquad c = \sqrt[a]{b}\:; \qquad c = \log_a(b)\:; \qquad c = a\cdot b\:. {{/formula}}
304 {{/aufgabe}}
305
Holger Engels 27.1 306 {{seitenreflexion/}}