Änderungen von Dokument BPE 5.1 Modellieren und Problemlösen

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Inhalt

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  {{toc start=2 depth=2 /}}
  {{/box}}
--Die Schülerinnen und Schüler nutzen erste Prinzipien beim Modellieren und Problemlösen. Sie erfassen eine mathematische Fragestellung, begründen die Wahl eines mathematischen Modells im Sachzusammenhang, verwenden das Modell zur Lösung des Problems und interpretieren ihre Ergebnisse im Kontext der Fragestellung. Sie reflektieren ihren Lösungsprozess.
--Gruppenpuzzle Problemlösen
--Edit
--Gruppe 1: Heuristisches Hilfsmittel: informative Figur
--Edit
--Info Box:
++{{seiteninhalt/}}
--Bei vielen Aufgabenstellungen hilft es weiter, sich den Sachverhalt durch eine Skizze oder Zeichnung zu veranschaulichen. Diese Veranschaulichung macht es oft leichter das Problem der Aufgabenstellung zu verstehen und geeignete Ansätze zur Lösung zu finden.
--Dieses Hilfsmittel bezeichnet man als informative Figur.
--Arbeitsauftrag
++=== Kompetenzen ===
++[[Kompetenzen.K3]], [[Kompetenzen.K2]], [[Kompetenzen.K5]] Ich kann erste Prinzipien beim Modellieren und Problemlösen nutzen
++[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine mathematische Fragestellung erfassen
++[[Kompetenzen.K1]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Wahl eines mathematischen Modells im Sachzusammenhang begründen
++[[Kompetenzen.K3]], [[Kompetenzen.K5]] Ich kann ein Modell zur Lösung des Problems verwenden
++[[Kompetenzen.K1]], [[Kompetenzen.K6]] Ich kann Ergebnisse im Kontext der Fragestellung interpretieren
++[[Kompetenzen.K6]] Ich kann meinen Lösungsprozess reflektieren
--1) Lest euch die Info Box aufmerksam durch.
++= Hilfsmittel und Strategietraining zum Modellieren und Problemlösen =
--2) Nutzt diese Strategie zur Lösung der folgenden Beispielaufgaben.
++== Problemlösen mit Hilfe der informativen Figur ==
--3) Überlegt euch, wie ihr euren Mitschülern dieses Hilfsmittel erklärt. Folgende Fragen können hier nützlich sein:
--• Was ist eine informative Figur?
--• Wie geht man beim Zeichnen vor?
--• Welche Fragen sind hilfreich?
--Beispiel 1: Busplätzerätsel
++{{info}}
++Bei vielen Aufgabenstellungen hilft es weiter, sich den Sachverhalt durch eine Skizze oder Zeichnung zu veranschaulichen. Diese Veranschaulichung macht es oft leichter das Problem der Aufgabenstellung zu verstehen und geeignete Ansätze zur Lösung zu finden. Dieses Hilfsmittel bezeichnet man als informative Figur.
++{{/info}}
--Noah stellt folgendes Rätsel: „ 33,3% der Plätze eines Busses sind von Kindern besetzt. 6 Plätze mehr werden von Erwachsenen eingenommen. 9 Plätze sind frei. Wie viele Sitzplätze hat der Bus?
--Beispiel 2: Eisenbahntunnel
++{{aufgabe afb="I" kompetenzen="K5, K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"}}
++**Busplätzerätsel**
--Ein Eisenbahntunnel hat die Form einer Parabel mit 8m Breite und 6m Höhe.
++Noah stellt folgendes Rätsel: "33,3% der Plätze eines Busses sind von Kindern besetzt. 6 Plätze mehr werden von Erwachsenen eingenommen. 9 Plätze sind frei. Wie viele Sitzplätze hat der Bus?"
++{{/aufgabe}}
++
++{{aufgabe afb="II" kompetenzen="K5, K3, K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"}}
++**Eisenbahntunnel**
++
++  Ein Eisenbahntunnel hat die Form einer Parabel mit 8m Breite und 6m Höhe.
  Bestimmen Sie eine quadratische Funktion, deren Schaubild die Form des Eisenbahntunnels beschreibt.
--Gruppe 2: Strategie: Systematisches Probieren
--Edit
--Info Box:
++{{/aufgabe}}
++== Problemlösen mit Systematischem Probieren ==
++
++{{info}}
  Es gibt Aufgaben, bei denen durch geschicktes Kombinieren der gegebenen Größen das gesuchte Ergebnis gefunden werden kann oder die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten gesucht ist. Bei solchen Aufgaben kann es zielführend sein, durch systematisches Ausprobieren das gesuchte Ergebnis zu ermitteln. Bei dieser Strategie ist es manchmal auch hilfreich, die verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten mit Hilfe einer Tabelle übersichtlich darzustellen.
--Arbeitsauftrag
++{{/info}}
--1) Lies dir die Info Box aufmerksam durch.
++{{aufgabe afb="I" kompetenzen=" K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"}}
++**Wechselgeld**
--2) Nutzt die beschriebene Strategie zur Lösung der folgenden Beispielaufgaben.
++Wie viel Möglichkeiten gibt es, 1 Euro in 5- und 10-Cent Stücke umzuwechseln, wenn dabei jede Münze mindestens einmal benutzt wird.
++{{/aufgabe}}
--3) Überlegt euch, wie ihr euren Mitschülern diese Strategie erklärt.
--Folgende Fragen können hier nützlich sein:
--• Was ist systematisches Probieren?
--• Wie geht man beim systematischen Probieren vor?
--• Welche Hilfsmittel gibt es?
++{{aufgabe afb="II" kompetenzen="K4, K2, K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"}}
++**Nullstellen**
++
++Finde die drei Nullstellen der Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^3-1{,}6x^2-5,4x+3{,}6{{/formula}}
++{{/aufgabe}}
++
++== Problemlösen mit Hilfe von Vorwärtsarbeiten ==
++
++{{info}}
++Es gibt Aufgaben, bei denen man schnell erkennt, dass man aus den gegebenen Größen weitere Größe berechnen kann. Mit diesen neu berechneten Größen lassen sich dann wieder weitere Größen berechnen bis man alle Größen bestimmt hat, die zur Berechnung der in der Aufgabe gesuchten Größe benötigt werden. Diese schrittweise Berechnung einer gesuchte Größe bzw. Lösung einer Aufgabe wird als vorwärts arbeiten bezeichnet.
++{{/info}}
++
++{{aufgabe afb="I" kompetenzen=" K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"}}
++**Abmessen**
++
++Victoria steht vor einem Wasserhahn und hat zwei Gefäße zur Verfügung.
++
++a) In das eine Gefäß passen fünf Liter, in das andere drei.
++Wie kann Victoria damit genau vier Liter abmessen?
++
++b) In das eine Gefäß passen neun Liter, in das andere vier.
++Wie kann Sie damit genau sechs Liter abmessen?
++{{/aufgabe}}
++
++{{aufgabe afb="III" kompetenzen="K5, K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"}}
++**Senkrechte Geraden**
++
++Gegeben sind die Punkte A(- 4| t); B(4| t) und C(0| 6t). Die Gerade g verläuft durch die Punkte A und C, die Gerade h durch die Punkt B und C.
++Für welchen Wert von t >0 schneiden sich die beiden Geraden senkrecht?
++{{/aufgabe}}
++
++== Problemlösen mit Hilfe von Rückwärtsarbeiten ==
++
++{{info}}
++Bei manchen Aufgaben ist es geschickt, die Lösung einer Aufgabe rückwärts anzugehen, also sich zunächst das Ziel der Aufgabe bzw. die gesuchte Lösung klarzumachen. Von der Lösung ausgehend wird dann überlegt, welche Möglichkeiten es gibt, die gesuchte Größe zu bestimmen und welche Angaben dafür gebraucht werden. Mit Hilfe dieser Strategie arbeitet man sich schrittweise von rückwärts zum richtigen Ansatz bzw. zur Lösung der Aufgabe vor.
++{{/info}}
++
++{{aufgabe afb="I" kompetenzen=" K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"}}
++**Rechenzeichen**
++
++Ergänze die folgenden Gleichungen auf der linken Seite mit beliebigen Rechenoperationen, so dass die Gleichungen korrekt hergestellt sind. Erlaubt sind alle Rechenarten, die du kennst wie Plus, Minus, Wurzel, ………
++
++2    2     2 = 6                    5    5    5 = 6
++
++3    3     3 = 6                    6    6    6 = 6
++
++4    4     4 = 6                    7    7    7 = 6
++{{/aufgabe}}
++
++{{aufgabe afb="II" kompetenzen="K5, K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"}}
++**Quadratische Gleichungen**
++
++Gegeben ist die Lösungsmenge L einer quadratischen Gleichung
++
++a) {{formula}}\mathbb{L} = \lbrace -2; 2 \rbrace{{/formula}}
++b) {{formula}}\mathbb{L} = \lbrace \rbrace{{/formula}}
++
++Finde zu jeder Lösungsmenge mindestens zwei verschiedene Gleichungen, die diese Lösungsmenge haben.
++{{/aufgabe}}
++
++== Problemlösen mit Hilfe des Invarianzprinzips ==
++
++{{info}}
++Es gibt Aufgaben, bei denen es eine Größe gibt, die sich nicht verändert, also immer gleich bleibt. Eine solche Größe nennt man Invariante (Invarianz heißt Unveränderlichkeit). Mit Hilfe der Invariante kann man Aufgaben oft sehr schnell lösen. Hierzu muss die Invariante zuerst in der Aufgabe gefunden werden. Die Frage nach: „Was bleibt bei der Aufgabe immer gleich“, kann helfen die Invariante zu finden. Hat man die diese gefunden, so erkennt man oft das Prinzip zur Lösung der Aufgabe.
++Das Invarianzprinzip ist auch aus dem Alltag bekannt. Viele beginnen zum Beispiel ein Puzzle, in dem sie zuerst den Rand des Puzzles machen. Bei allen Randteilen ist gleich, dass eine Seite ganz gerade ist. Hat man den Rand des Puzzles gemacht, so lässt sich des restliche Puzzle leichter fertigstellen
++{{/info}}
++
++{{aufgabe afb="I" kompetenzen=" K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"}}
++**Quadratzahlen**
++
++a) Berechne die Quadratzahlen von 1,5; 2,5: 3,5 und 4,5.
++b) Finde eine Regel, wie man die folgenden Quadratzahlen 5,5; 6,5 usw.im Kopf ausrechnen kann, wenn man die vorhergehende Quadratzahl kennt.
++c) Gibt es auch eine Regel, wenn man die vorhergehende Quadratzahl nicht kennt.
++{{/aufgabe}}
++
++{{aufgabe afb="II" kompetenzen="K5, K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"}}
++**Funktionsterm finden**
++
++Von einer quadratischen Funktion der Form {{formula}}f(x)=a \cdot x^2{{/formula}} kennt man nur die Funktionswerte der folgenden Wertetabelle. Die x-Werte sind aufeinanderfolgende ganze Zahlen. Bestimme den Funktionsterm.
++
++(% style="width: min-content; white-space: nowrap" %)
++|x | | | |\\
++|{{{f(x)}}} |18 |8 |2 |0
++{{/aufgabe}}
++

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