Änderungen von Dokument BPE 5.1 Modellieren und Problemlösen

Zusammenfassung

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Details

Seiteneigenschaften

Titel

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-Modellieren und Problemlösen
	1	+BPE 5.1 Modellieren und Problemlösen

Übergeordnete Seite

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1		-Main.WebHome
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Dokument-Autor

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1		-XWiki.holger
	1	+XWiki.vbs

Inhalt

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1		-{{box cssClass="floatinginfobox" title="**Contents**"}}
2		-{{toc start=2 depth=2 /}}
3		-{{/box}}
	1	+{{seiteninhalt/}}
4	4
5		-Die Schülerinnen und Schüler nutzen erste Prinzipien beim Modellieren und Problemlösen. Sie erfassen eine mathematische Fragestellung, begründen die Wahl eines mathematischen Modells im Sachzusammenhang, verwenden das Modell zur Lösung des Problems und interpretieren ihre Ergebnisse im Kontext der Fragestellung. Sie reflektieren ihren Lösungsprozess.
	3	+[[Kompetenzen.K3]], [[Kompetenzen.K2]], [[Kompetenzen.K5]] Ich kann erste Prinzipien beim Modellieren und Problemlösen nutzen
	4	+[[Kompetenzen.K4]] Ich kann eine mathematische Fragestellung erfassen
	5	+[[Kompetenzen.K1]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann die Wahl eines mathematischen Modells im Sachzusammenhang begründen
	6	+[[Kompetenzen.K3]], [[Kompetenzen.K5]] Ich kann ein Modell zur Lösung des Problems verwenden
	7	+[[Kompetenzen.K1]], [[Kompetenzen.K6]] Ich kann Ergebnisse im Kontext der Fragestellung interpretieren
	8	+[[Kompetenzen.K6]] Ich kann meinen Lösungsprozess reflektieren
6	6
7	7	= Hilfsmittel und Strategietraining zum Modellieren und Problemlösen =
8	8
9	9	== Problemlösen mit Hilfe der informativen Figur ==
10		-
11	11	{{info}}
12	12	Bei vielen Aufgabenstellungen hilft es weiter, sich den Sachverhalt durch eine Skizze oder Zeichnung zu veranschaulichen. Diese Veranschaulichung macht es oft leichter das Problem der Aufgabenstellung zu verstehen und geeignete Ansätze zur Lösung zu finden. Dieses Hilfsmittel bezeichnet man als informative Figur.
13	13	{{/info}}
14	14
15		-{{aufgabe ref="InformativeFigurA1"}}
16		-Aufgabe 1: Busplätzerätsel
17		-{{/aufgabe}}
	17	+{{aufgabe id="Busplätzerätsel" afb="I" kompetenzen="K5, K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"}}
	18	+**Busplätzerätsel**
18	18
19	19	Noah stellt folgendes Rätsel: "33,3% der Plätze eines Busses sind von Kindern besetzt. 6 Plätze mehr werden von Erwachsenen eingenommen. 9 Plätze sind frei. Wie viele Sitzplätze hat der Bus?"
	21	+{{/aufgabe}}
20	20
21		-{{tags afb="I" kompetenzen="K5, K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"/}}
	23	+{{aufgabe id="Eisenbahntunnel" afb="II" kompetenzen="K5, K3, K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"}}
	24	+**Eisenbahntunnel**
22	22
23		-{{aufgabe ref="InformativeFigurA2"}}
24		-Aufgabe 2: Eisenbahntunnel
	26	+ Ein Eisenbahntunnel hat die Form einer Parabel mit 8m Breite und 6m Höhe.
	27	+Bestimmen Sie eine quadratische Funktion, deren Schaubild die Form des Eisenbahntunnels beschreibt.
25	25	{{/aufgabe}}
26	26
27		-Ein Eisenbahntunnel hat die Form einer Parabel mit 8m Breite und 6m Höhe.
28		-Bestimmen Sie eine quadratische Funktion, deren Schaubild die Form des Eisenbahntunnels beschreibt.
29		-
30		-{{tags afb="II" kompetenzen="K5, K3, K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"/}}
31		-
32	32	== Problemlösen mit Systematischem Probieren ==
33		-
34	34	{{info}}
35	35	Es gibt Aufgaben, bei denen durch geschicktes Kombinieren der gegebenen Größen das gesuchte Ergebnis gefunden werden kann oder die Anzahl der Kombinationsmöglichkeiten gesucht ist. Bei solchen Aufgaben kann es zielführend sein, durch systematisches Ausprobieren das gesuchte Ergebnis zu ermitteln. Bei dieser Strategie ist es manchmal auch hilfreich, die verschiedenen Kombinationsmöglichkeiten mit Hilfe einer Tabelle übersichtlich darzustellen.
36	36	{{/info}}
37	37
38		-{{aufgabe ref="SystematischesProbierenA1"}}
39		-Aufgabe 1: Wechselgeld
40		-{{/aufgabe}}
	35	+{{aufgabe id="Wechselgeld" afb="I" kompetenzen=" K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"}}
	36	+**Wechselgeld**
41	41
42	42	Wie viel Möglichkeiten gibt es, 1 Euro in 5- und 10-Cent Stücke umzuwechseln, wenn dabei jede Münze mindestens einmal benutzt wird.
	39	+{{/aufgabe}}
43	43
44		-{{tags afb="I" kompetenzen=" K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"/}}
	41	+{{aufgabe id="Nullstellen" afb="II" kompetenzen="K4, K2, K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"}}
	42	+**Nullstellen**
45	45
46		-{{aufgabe ref="SystematischesProbieren2"}}
47		-Aufgabe 2:Nullstellen
	44	+Finde die drei Nullstellen der Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^3-1{,}6x^2-5,4x+3{,}6{{/formula}}
48	48	{{/aufgabe}}
49	49
50		-Finde die drei Nullstellen der Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^3-1{,}6x^2-5,4x+3{,}6{{/formula}}
51		-
52		-
53		-{{tags afb="II" kompetenzen="K4, K2, K5" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"/}}
54		-
55	55	== Problemlösen mit Hilfe von Vorwärtsarbeiten ==
56		-
57	57	{{info}}
58	58	Es gibt Aufgaben, bei denen man schnell erkennt, dass man aus den gegebenen Größen weitere Größe berechnen kann. Mit diesen neu berechneten Größen lassen sich dann wieder weitere Größen berechnen bis man alle Größen bestimmt hat, die zur Berechnung der in der Aufgabe gesuchten Größe benötigt werden. Diese schrittweise Berechnung einer gesuchte Größe bzw. Lösung einer Aufgabe wird als vorwärts arbeiten bezeichnet.
59	59	{{/info}}
60	60
61		-{{aufgabe ref="VorwärtsarbeitenA1"}}
62		- Aufgabe 1: Abmessen
63		-{{/aufgabe}}
	52	+{{aufgabe id="Abmessen" afb="I" kompetenzen=" K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"}}
	53	+**Abmessen**
64	64
65	65	Victoria steht vor einem Wasserhahn und hat zwei Gefäße zur Verfügung.
66	66
...	...	@@ -69,27 +69,22 @@
69	69
70	70	b) In das eine Gefäß passen neun Liter, in das andere vier.
71	71	Wie kann Sie damit genau sechs Liter abmessen?
72		-
73		-{{tags afb="I" kompetenzen=" K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"/}}
74		-
75		-{{aufgabe ref="VorwärtsarbeitenA2"}}
76		-Aufgabe 2:Senkrechte Geraden
77	77	{{/aufgabe}}
78	78
	64	+{{aufgabe id="Senkrechte Geraden" afb="III" kompetenzen="K5, K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"}}
	65	+**Senkrechte Geraden**
	66	+
79	79	Gegeben sind die Punkte A(- 4| t); B(4| t) und C(0| 6t). Die Gerade g verläuft durch die Punkte A und C, die Gerade h durch die Punkt B und C.
80	80	Für welchen Wert von t >0 schneiden sich die beiden Geraden senkrecht?
	69	+{{/aufgabe}}
81	81
82		-{{tags afb="III" kompetenzen="K5, K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"/}}
83		-
84	84	== Problemlösen mit Hilfe von Rückwärtsarbeiten ==
85		-
86	86	{{info}}
87	87	Bei manchen Aufgaben ist es geschickt, die Lösung einer Aufgabe rückwärts anzugehen, also sich zunächst das Ziel der Aufgabe bzw. die gesuchte Lösung klarzumachen. Von der Lösung ausgehend wird dann überlegt, welche Möglichkeiten es gibt, die gesuchte Größe zu bestimmen und welche Angaben dafür gebraucht werden. Mit Hilfe dieser Strategie arbeitet man sich schrittweise von rückwärts zum richtigen Ansatz bzw. zur Lösung der Aufgabe vor.
88	88	{{/info}}
89	89
90		-{{aufgabe ref="RückwärtsarbeitenA1"}}
91		- Aufgabe 1: Rechenzeichen
92		-{{/aufgabe}}
	76	+{{aufgabe id="Rechenzeichen" afb="I" kompetenzen=" K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"}}
	77	+**Rechenzeichen**
93	93
94	94	Ergänze die folgenden Gleichungen auf der linken Seite mit beliebigen Rechenoperationen, so dass die Gleichungen korrekt hergestellt sind. Erlaubt sind alle Rechenarten, die du kennst wie Plus, Minus, Wurzel, ………
95	95
...	...	@@ -98,14 +98,11 @@
98	98	3 3 3 = 6 6 6 6 = 6
99	99
100	100	4 4 4 = 6 7 7 7 = 6
101		-
102		-
103		-{{tags afb="I" kompetenzen=" K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"/}}
104		-
105		-{{aufgabe ref="RückwärtsarbeitenA2"}}
106		-Aufgabe 2:Quadratische Gleichungen
107	107	{{/aufgabe}}
108	108
	88	+{{aufgabe id="Quadratische Gleichungen" afb="II" kompetenzen="K5, K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"}}
	89	+**Quadratische Gleichungen**
	90	+
109	109	Gegeben ist die Lösungsmenge L einer quadratischen Gleichung
110	110
111	111	a) {{formula}}\mathbb{L} = \lbrace -2; 2 \rbrace{{/formula}}
...	...	@@ -112,37 +112,29 @@
112	112	b) {{formula}}\mathbb{L} = \lbrace \rbrace{{/formula}}
113	113
114	114	Finde zu jeder Lösungsmenge mindestens zwei verschiedene Gleichungen, die diese Lösungsmenge haben.
	97	+{{/aufgabe}}
115	115
116		-
117		-{{tags afb="II" kompetenzen="K5, K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"/}}
118		-
119	119	== Problemlösen mit Hilfe des Invarianzprinzips ==
120		-
121	121	{{info}}
122	122	Es gibt Aufgaben, bei denen es eine Größe gibt, die sich nicht verändert, also immer gleich bleibt. Eine solche Größe nennt man Invariante (Invarianz heißt Unveränderlichkeit). Mit Hilfe der Invariante kann man Aufgaben oft sehr schnell lösen. Hierzu muss die Invariante zuerst in der Aufgabe gefunden werden. Die Frage nach: „Was bleibt bei der Aufgabe immer gleich“, kann helfen die Invariante zu finden. Hat man die diese gefunden, so erkennt man oft das Prinzip zur Lösung der Aufgabe.
123	123	Das Invarianzprinzip ist auch aus dem Alltag bekannt. Viele beginnen zum Beispiel ein Puzzle, in dem sie zuerst den Rand des Puzzles machen. Bei allen Randteilen ist gleich, dass eine Seite ganz gerade ist. Hat man den Rand des Puzzles gemacht, so lässt sich des restliche Puzzle leichter fertigstellen
124	124	{{/info}}
125	125
126		-{{aufgabe ref="InvarianzprinzipA1"}}
127		- Aufgabe 1: Quadratzahlen
128		-{{/aufgabe}}
	105	+{{aufgabe id="Quadratzahlen" afb="I" kompetenzen=" K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"}}
	106	+**Quadratzahlen**
129	129
130	130	a) Berechne die Quadratzahlen von 1,5; 2,5: 3,5 und 4,5.
131	131	b) Finde eine Regel, wie man die folgenden Quadratzahlen 5,5; 6,5 usw.im Kopf ausrechnen kann, wenn man die vorhergehende Quadratzahl kennt.
132	132	c) Gibt es auch eine Regel, wenn man die vorhergehende Quadratzahl nicht kennt.
	111	+{{/aufgabe}}
133	133
	113	+{{aufgabe id="Funktionsterm finden" afb="II" kompetenzen="K5, K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"}}
	114	+**Funktionsterm finden**
134	134
135		-{{tags afb="I" kompetenzen=" K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"/}}
	116	+Von einer quadratischen Funktion der Form {{formula}}f(x)=a \cdot x^2{{/formula}} kennt man nur die Funktionswerte der folgenden Wertetabelle. Die x-Werte sind aufeinanderfolgende ganze Zahlen. Bestimme den Funktionsterm.
136	136
137		-{{aufgabe ref="InvarianzprinzipA2"}}
138		-Aufgabe 2: Funktionsterm finden
	118	+(% style="width: min-content; white-space: nowrap" %)
	119	+|x | | | |\\
	120	+|{{{f(x)}}} |18 |8 |2 |0
139	139	{{/aufgabe}}
140	140
141		-Von einer quadratischen Funktion der Form {{formula}}f(x)=a \cdot x^2{{/formula}} kennt man nur die Funktionswerte der folgenden Wertetabelle. Die x-Werte sind aufeinanderfolgende ganze Zahlen. Bestimme den Funktionsterm.
142		-
143		-
144		-x
145		-f(x) 18 8 2 0
146		-
147		-
148		-{{tags afb="II" kompetenzen="K5, K2" quelle="Martina Wagner" lizenz="CC BY-SA"/}}