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Lösung Verschiebung durch Ableiten

Version 1.1 von akukin am 2024/10/13 20:48
Erwartungshorizont f(x)=e^{2x}; \ f^{(100)}(x)=2^{100}\cdot e^{2x}

Erzeugung des Graphen von f^{(100)} durch Verschiebung des Graphen von f:
f(x-c)=f^{(100)}\left(x) \ \ \Leftrightarrow \ \ e^{2x}\cdot e^{-2c}=2^{100}\cdot e^{2x} \ \ \Leftrightarrow \ \ e^{-2c}=2^{100} \ \ \Leftrightarrow \ \ c=-\frac{1}{2}\cdot\ln{(2^{100})}
Erläuterung der Lösung Lies am besten zuerst Hinweis 3.

Bekannt ist zuerst nur: f^\prime(x)=2\cdot e^{2x} und f(0)=1
Die Stammfunktion von f^\prime ist die Originalfunktion f:
f(x)=e^{2x}+C;\ \ C\in\mathbb{R}
Da der Graph von f den y-Achsenabschnitt 1 haben soll:
f(0)=1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ e^0+C=1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ C=0
f(x)=e^{2x}

Ein n-maliges Ableiten führt zu einer Multiplikation mit 2^n (wovon man sich durch Ausprobieren leicht überzeugen kann):
f^{(n)}(x)=2^n\cdot e^{2x}
Wie in Hinweis 3 beschrieben, bringen wir beide Faktoren auf dieselbe Basis und formen den Term algebraisch um, so dass eine Verschiebung in x-Richtung ersichtlich wird, das heißt zum x in der Originalfunktion nur noch ein Summand addiert wird:
f^{(n)}\left(x)=e^{\ln{(2^n)}}\cdot e^{2x}=e^{\ln{(2^n)}+2x}=e^{2(\frac{1}{2}\ln{\left(2^n)}+x)}
Also ist der Graph der n-ten Ableitung gegenüber dem der Originalfunktion um \frac{1}{2}\ln{(2^n)} nach links verschoben.
Für n=10 bedeutet das, dass die Verschiebung um c\in\mathbb{R} nach rechts beschrieben werden kann mittels:
c=-\frac{1}{2}\ln{(2^{100})}
Dann gilt:
f^{(100)}(x)=f(x-c)