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Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2025/01/05 15:47
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Martina Wagner 3.1 1 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen anwenden
2 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Ableitungsregeln für zusammengesetzte Funktionen kombinieren
Martin Rathgeb 4.1 3
Martin Rathgeb 43.1 4 {{aufgabe id="Ableitungsregeln entdecken und begründen" afb="III" kompetenzen="K1,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
Martin Rathgeb 14.1 5 Gegeben sind eine reelle Zahl //a// sowie zwei lineare Funktionen {{formula}}f_i{{/formula}} mit {{formula}}f_i(x)=m_i x+b_i{{/formula}} für {{formula}}i=1,2{{/formula}}.
Martin Rathgeb 4.1 6 (% class="abc" %)
Martin Rathgeb 30.1 7 1. (((Ermittle rechnerisch (mittels Definition der Verknüpfung bzw. Verkettung) die Hauptform der folgenden zusammengesetzten Funktionen:
Martin Rathgeb 14.1 8 1. Summenfunktion {{formula}}f=f_1 + f_2{{/formula}}
9 1. Vielfachenfunktion {{formula}}f=a \cdot f_1{{/formula}}
10 1. Produktfunktion {{formula}}f=f_1\cdot f_2{{/formula}}.
11 1. Verkettung {{formula}}f=f_2\circ f_1{{/formula}}.
Martin Rathgeb 16.1 12
Martin Rathgeb 14.1 13 )))
Martin Rathgeb 30.1 14 1. Ermittle rechnerisch (mittels Definition des Differenzialquotienten) aus der Hauptform von //f// die Hauptform der ersten Ableitung //f'// von //f//.
Martin Rathgeb 14.1 15 1. (((Zeige, dass sich //f'// folgendermaßen schreiben lässt:
16 1. Summenfunktion {{formula}}f'=f_1' + f_2'{{/formula}}
17 1. Vielfachenfunktion {{formula}}f'=a \cdot f_1'{{/formula}}
18 1. Produktfunktion {{formula}}f'=f_1'\cdot f_2+f_1\cdot f_2'{{/formula}}
Martin Rathgeb 25.1 19 1. Verkettung {{formula}}f'=(f_2'\circ f_1) \cdot f_1'{{/formula}}.
Martin Rathgeb 16.1 20
Martin Rathgeb 14.1 21 )))
22 1. Recherchiere die Ableitungsregeln (vgl. Merkhilfe, S. 5).
23 1. Begründe bzw. plausibilisiere, dass durch die Teilaufgaben (a), (b) und (c) die Ableitungsregeln für differenzierbare Funktionen im Wesentlichen gezeigt sind.
Martin Rathgeb 56.1 24
25 //Anmerkung//, insbesondere zu Teilaufgabe e). Jede differenzierbare Funktion ist //lokal// "linear", genauer: "linear approximierbar" (vgl. dazu BPE 12.5 und 12.1), d.h., in der Nähe von //u// gilt die Näherung {{formula}}f(x)\approx f(u)+f'(u)\cdot (x-u){{/formula}}. Mit anderen Worten: Jede differenzierbare Funktion verhält sich, lokal betrachtet, wie eine lineare Funktion, welche erwiesenermaßen die Ableitungsregeln erfüllen.
Martin Rathgeb 4.1 26 {{/aufgabe}}
27
Martin Rathgeb 43.1 28 {{aufgabe id="Exponentialfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}
Martin Rathgeb 39.1 29 Gegeben ist eine Exponentialfunktion {{formula}}f_q{{/formula}} mit {{formula}}f_q(x)=q^x{{/formula}} für //q>0//. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}f_q'{{/formula}} untersuchen und gehen dabei folgendermaßen vor.
30 (% class="abc" %)
31 1. Zeige, dass gilt: {{formula}}f_q'(x)=f_q(x)\cdot f_q'(0){{/formula}}.
Martin Rathgeb 44.1 32 1. Untersuche die Abbildung {{formula}}q\mapsto f_q'(0){{/formula}} mit dem WTR. Kennst du für den Funktionsterm eine passende Bezeichnung?
Martin Rathgeb 42.1 33 //Ansatz//. Wähle für //q// Potenzen von //e// und approximiere den Differenzialquotienten durch Differenzenquotienten mit kleinen Nennern.
Martin Rathgeb 44.1 34 1. Zeige unter Verwendung der Kettenregel und folgender Anmerkung die Ableitungsregel für die Exponentialfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe. Dort wird der Funktionsterm {{formula}}e^{bx}{{/formula}} betrachtet, das ist für {{formula}}b=\ln(q){{/formula}} der Funktionsterm von {{formula}}f_q{{/formula}}, nämlich {{formula}}e^{bx}=e^{\ln(q)x}=q^x=f_q(x){{/formula}}.
Martin Rathgeb 42.1 35
Martin Rathgeb 51.1 36 //Anmerkung//.(% class="alphastyle" %)
37 1. Es gilt folgende Gleichung: {{formula}}f_q'(0)=\ln(q){{/formula}}.
Martin Rathgeb 47.1 38 Das liefert einen alternativen Zugang zur natürlichen Logarithmusfunktion (als Alternative zu ihrer Erscheinungsweise als Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion).
Martin Rathgeb 51.1 39 1. Es gilt die Äquivalenz folgender Gleichungen: {{formula}}\lim_{h\to 0} \frac{q^h-1}{h}=1 \Leftrightarrow q=e{{/formula}}.
Martin Rathgeb 47.1 40 Das charakterisiert zunächst eine reelle Zahl, die wir durch "{{formula}}e{{/formula}}" bezeichnen" und das zeichnet weiter die natürliche Exponentialfunktion (zur Basis //e//) unter allen Exponentialfunktionen aus: {{formula}}f_e'(x)=f_e(x){{/formula}} bzw. kurz {{formula}}f_e'=f_e{{/formula}}.
Martin Rathgeb 52.1 41 1. Es gelten allgemein folgende Gleichungen für die erste Ableitung: {{formula}}f_q'(x)=\ln(q)\cdot f_q(x){{/formula}} bzw. kurz {{formula}}f_q'=\ln(q)\cdot f_q{{/formula}}.
Martin Rathgeb 39.1 42 {{/aufgabe}}
43
Martin Rathgeb 34.1 44 {{aufgabe id="Logarithmusfunktion ableiten" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="5"}}
Martin Rathgeb 39.1 45 Gegeben ist die natürliche Logarithmusfunktion {{formula}}\ln{{/formula}} mit Definitionsbereich {{formula}}\mathbb{R}_+^*{{/formula}} und zugehörigem Wertebereich {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}}. Diese Funktion ist (just for info) differenzierbar. Wir wollen ihre erste Ableitung {{formula}}\ln'{{/formula}} ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor.
Martin Rathgeb 30.1 46 //Implizites Differenzieren//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=e^{\ln(x)}=x{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}1=h'(x)=e^{\ln(x)}\cdot \ln'(x){{/formula}} nach {{formula}}\ln'{{/formula}} auf.
47 {{/aufgabe}}
48
Martin Rathgeb 53.1 49 {{aufgabe id="Potenzregel und Produktregel" afb="II" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="30"}}
Martin Rathgeb 30.1 50 Gegeben ist eine Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=x^k{{/formula}}.
51 (% class="abc" %)
52 1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=0,1,2{{/formula}} mittels Definition des Differenzialquotienten.
53 1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=3,4{{/formula}} mittels Produktregel.
54 //Ansatz//. {{formula}}f(x)=x^3=x^2\cdot x{{/formula}} bzw. {{formula}}f(x)=x^4=x^3\cdot x{{/formula}}.
55 1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=5{{/formula}} mittels Produktregel auf mindestens drei Weisen.
Martin Rathgeb 31.1 56 //Ansatz//. {{formula}}f(x)=x^5=x^4\cdot x=x^3\cdot x^2= x^{12}\cdot x^{-7}{{/formula}} oder ähnliches.
Martin Rathgeb 30.1 57 1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=1/2{{/formula}}.
Martin Rathgeb 31.1 58 //Ansatz (implizites Differenzieren)//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=f(x)\cdot f(x)=x{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}1=h'(x)=2 f(x) f'(x){{/formula}} nach {{formula}}f'(x){{/formula}} auf.
Martin Rathgeb 30.1 59 1. Zeige die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k=-n{{/formula}} mit {{formula}}n\in \mathbb{N}^*{{/formula}}.
Martin Rathgeb 32.1 60 //Ansatz (implizites Differenzieren)//. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=x^n\cdot f(x)=1{{/formula}}. Löse nun die Gleichung (zzgl. Termkette) {{formula}}0=h'(x)=(x^n)'\cdot f(x)+x^n\cdot f'(x){{/formula}} nach {{formula}}f'(x){{/formula}} auf.
Martin Rathgeb 38.1 61 1. Zeige die Ableitungsregel für Potenzfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe, d.h., die Instanz der Potenzregel für {{formula}}k\in \mathbb{R}_+^*{{/formula}}.
Martin Rathgeb 33.1 62 //Ansatz//. Betrachte folgende hilfreiche Darstellung der Funktionsgleichung {{formula}}f(x)=x^k=e^{k\cdot \ln(x)}{{/formula}} von //f// und verwende die Ableitung der e-Funktion zzgl. Kettenregel.
Martin Rathgeb 57.1 63
64 //Anmerkung//. In der letzten Teilaufgabe leistet die Fortsetzung {{formula}}e^{k\cdot \ln(x)}{{/formula}} der Funktionsgleichung von //f// (geradezu nebenbei) die (längst überfällige) Definition von Potenzen mit positiv reellen Exponenten.
Martin Rathgeb 30.1 65 {{/aufgabe}}
66
Martin Rathgeb 53.1 67 {{aufgabe id="Winkelfunktionen" afb="III" kompetenzen="K1,K5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA" zeit="15"}}
Martin Rathgeb 36.1 68 Gegeben sind die Winkelfunktionen {{formula}}\sin, \cos{{/formula}} mit Definitionsbereich {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} und zugehörigem Wertebereich {{formula}}[-1;+1]{{/formula}}. Wir wollen ihre ersten Ableitungen {{formula}}\sin', \cos'{{/formula}} ermitteln und gehen dabei folgendermaßen vor. Betrachte die Hilfsfunktion //h// mit {{formula}}h(x)=(\sin(x))^2+(\cos(x))^2=1{{/formula}} (trigonometrischer Pythagoras).
69 (% class="abc" %)
70 1. //Implizites Differenzieren//. Zeige, dass gilt: {{formula}}\sin(x)\sin'(x)=-\cos(x)\cos'(x){{/formula}}.
Martin Rathgeb 59.1 71 1. Begründe bzw. plausibilisiere mittels Teilaufgabe (a) und graphisches Ableiten, dass {{formula}}\sin'=\cos{{/formula}} und {{formula}}\cos'=-\sin{{/formula}} gilt.
Martin Rathgeb 36.1 72 1. Zeige, dass aus {{formula}}\sin'=\cos{{/formula}} mittels Kettenregel {{formula}}\cos'=-\sin{{/formula}} folgt.
73 //Ansatz//. Betrachte folgende hilfreiche Darstellung der Funktionsgleichung {{formula}}\cos(x)=\sin(x-(-\pi/2)){{/formula}} von {{formula}}cos{{/formula}}.
Martin Rathgeb 38.1 74 1. Zeige die Ableitungsregeln für Winkelfunktionen auf S. 5 der Merkhilfe.
Martin Rathgeb 58.1 75
76 //Anmerkung//. Teilaufgabe (c) plausibilisiert die Behauptung in b).
Martin Rathgeb 13.1 77 {{/aufgabe}}