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Lösung Ableitungsregeln entdecken und begründen

Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/03 21:15
    1. Summenfunktion f(x)=f_1(x)+f_2(x)=m_1x+b_1+m_2x+b_2=(m_1+m_2)x+(b_1+b_2)
    2. Vielfachenfunktion f(x)=a\cdot f_1(x)=a\cdot (m_1x+b_1)=(am_1)x+ab_1

    3. Produktfunktion

      \begin{align} f(x)&=f_1(x)\cdot f_2(x) \\ &=(m_1x+b_1)\cdot(m_2x+b_2)\\ &=m_1m_2x^2+m_1b_2x+m_2b_1x+b_1b_2\\ &=m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2 \end{align}

    4. Verkettung

      \begin{align} f(x)&=f_2(x)\circ f_1(x)=f_2(f_1(x))=f_2(m_1x+b_1) \\ &=m_2(m_1x+b_1)+b_2 \\ &=(m_2m_1)x+(m_2b_1+b_2) \end{align}

  2. Die Ableitung an der Stelle x_0 berechnet sich mit Hilfe des Differenzialquotienten durch
    f'(x_0)=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

    1. Summenfunktion:

      \begin{align} f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x+(b_1+b_2)-((m_1+m_2)x_0+(b_1+b_2))}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x+(b_1+b_2)-(m_1+m_2)x_0-(b_1+b_2)}{x-x_0} \\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(m_1+m_2)x-(m_1+m_2)x_0}{x-x_0} \\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(x-x_0)(m_1+m_2)}{x-x_0} \\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \left((m_1+m_2)\frac{x-x_0}{x-x_0}\right) \\ &=m_1+m_2 \end{align}

      Somit ist f'(x)=m_1+m_2.

    2. Vielfachenfunktion:

      \begin{align} f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x+ab_1-((am_1)x_0+ab_1)}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x+ab_1-(am_1)x_0-ab_1}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{(am_1)x)-(am_1)x_0}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{am_1(x-x_0)}{x-x_0}\\ &=am_1 \end{align}

      Somit ist f'(x)=am_1.

    3. Produktfunktion:

      \begin{align} f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2-(m_1m_2x_0^2+(m_1b_2+m_2b_1)x_0+b_1b_2)}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2x^2+(m_1b_2+m_2b_1)x+b_1b_2-m_1m_2x_0^2-(m_1b_2+m_2b_1)x_0-b_1b_2)}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2(x^2-x_0^2)+(m_1b_2+m_2b_1)(x-x_0)}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} \frac{m_1m_2(x-x_0)(x+x_0)+(m_1b_2+m_2b_1)(x-x_0)}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} (m_1m_2(x+x_0)+(m_1b_2+m_2b_1)) &=m_1m_2 2x_0+(m_1b_2+m_2b_1)\\ \end{align}

      Somit ist f'(x)=m_1m_2 2x+(m_1b_2+m_2b_1).