Zum Inhalt springen

Lösung Exponentialfunktion ableiten

Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/05 16:02
  1. Nach der 3. Anmerkung ist f_q^\prime(x)=\ln(q)\cdot f_q(x).
    Nach Anmerkung 1. gilt f_q^\prime(0)=\ln(q).
    Insgesamt ist f_q(x)\cdot f_q^\prime(0)=q^x\cdot \ln(q)=f_q^\prime(x).

  2. Für q=e ist f_q'(0)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{e^h-1}{h}=1
    Nun schauen wir für weitere Werte von q, was wir für kleine h (z.B. h=0,000001) erhalten zum Beispiel:
    q=1: \ f_q'(0)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1^h-1}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{1-1}{h}=0\
    q=2: \ f_q'(0)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{2^h-1}{h} \approx \frac{2^{0,000001}-1}{0,000001}\approx 0,693

    Wir stellen dabei fest, dass die zu untersuchende Abbildung der natürliche Algorithmus ist.
    Die Funktionsgleichung ist also gegeben durch f_q'(0)=\ln(q)

  3. Zu zeigen ist f'(x)=b\cdot e^{bx} mit f(x)=e^{bx}.
    Für b=\ln(q) ist f(x)=q^x=f_q(x) und somit f^\prime(x)=f_q^\prime(x)= \ln(q)\cdot q^x.

    Ersetzen wir wieder \ln(q) mit b, so erhalten wir
    f^\prime(x)=\ln(q)\cdot q^x=b\cdot q^x=b\cdot e^{\ln(q)x}=b\cdot e^{bx}
    und haben die Ableitungsregel damit gezeigt.