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Lösung Potenzregel und Produktregel

Zuletzt geändert von akukin am 2025/08/05 21:12

  1. \underline{k=0}:

    f(x)=x^0=1
    Nach der Potenzregel gilt:f'(x)=0\cdot x^{0-1}=0

    Mit dem Differenzialquotienten erhalten wir ebenfalls:

    \begin{align} f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{1-1}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}0 \\ &=0 \end{align}

    \underline{k=1}:

    f(x)=x
    Mit Potenzregel: f'(x)=1\cdot x^{1-1}=1\cdot x^0=1\cdot1=1
    Mit Differenzialquotient:

    \begin{align} f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{x-x_0}{x-x_0} \\ &=1 \end{align}

    \underline{k=2}:

    f(x)=x^2
    Mit Potenzregel: f'(x)=2\cdot x^{2-1}=2\cdot x^1=2x
    Mit Differenzialquotient:

    \begin{align} f'(x_0)&=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{x^2-x_0^2}{x-x_0} \\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0}\frac{(x-x_0)(x+x_0)}{x-x_0} \\ &=\lim\limits_{x\rightarrow x_0} x+x_0 \\ &=2x \end{align}

  2. \underline{k=3}:
    f(x)=x^3=x^2\cdot x
    Mit u(x)=x^2 und v(x)=x folgt mit der Produktregel:
    f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)=2x\cdot x+x^2\cdot 1=2x^2+x^2=3x^2

    \underline{k=4}:
    f(x)=x^4=x^3\cdot x
    Mit u(x)=x^3 und v(x)=x folgt mit der Produktregel:
    f'(x)=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)=3x^2\cdot x+x^3\cdot 1=3x^3+x^3=4x^3

  3. Wählen wir, wie vorgeschlagen, f(x)=x^5=x^4\cdot x, so erhalten wir mit der Produktregel
    f'(x)=4x^3\cdot x+x^4\cdot 1=4x^4+x^4=5x^4.

    Mitf(x)=x^5=x^3\cdot x^2 erhalten wir
    f'(x)=3x^2\cdot x^2+x^3\cdot 2x=3x^4+2x^4=5x^4.

    Mitf(x)=x^5=x^{12}\cdot x^{-7} wir
    f'(x)=12x^{11}\cdot x^{-7}+x^{12}\cdot (-7x^{-8})=12x^4-7x^4=5x^4.

    Neben den Vorschlägen sind natürlich auch individuelle Lösungen möglich.

  4. 1=2f(x)f'(x) \ \Leftrightarrow f'(x)=\frac{1}{2f(x)}=\frac{1}{2x^{0,5}}

    Vergleich mit der Potenzregel:
    f'(x)=\frac{1}{2}\cdot x^{0,5-1}=\frac{1}{2}\cdot x^{-0,5}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{x^{0,5}}

  5. 0=(x^n)'\cdot f(x)+x^n\cdot f^\prime(x)
    \Leftrightarrow f'(x)=\frac{-(x^n)'\cdot f(x)}{x^n}=\frac{-nx^{n-1}\cdot x^{-n}}{x^n}=\frac{-nx^{-1}}{x^n}=(-n)\cdot x^{-n-1}

    Vergleich mit der Potenzregel:
    f'(x)=(-n)\cdot x^{-n-1}

  6. f(x)=x^k=e^{k\cdot \ln(x)}

    f'(x)=e^{k\cdot \ln(x)}\cdot k\cdot \frac{1}{x}=x^k\cdot k\cdot \frac{1}{x}=k\cdot x^{k-1}