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Version 48.2 von Dirk Tebbe am 2026/04/18 09:51
Verstecke letzte Bearbeiter
Martina Wagner 4.1 1 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann eine Gleichung der Tangente in einem gegebenen Punkt eines Funktionsgraphen bestimmen
2 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann prüfen, ob eine gegebene Gerade Tangente an einem Funktionsgraphen ist
akukin 5.1 3
Dirk Tebbe 48.2 4 {{aufgabe id="Tangentengleichung der Merkhilfe aus Punkt-Steigungsform der Geraden herleiten" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="Dirk Tebbe" niveau="" zeit="10" cc="by"}}
5 Zeige: Die in der Merkhilfe angegebene Tanentengleichung {{formula}}y=f´(u)(x-u)+f(u){{/formula}} geht durch geeignete Umformung aus der Punkt-Steigungsform der Geraden {{formula}}\frac{y-y_1}{x-x_1}=m{{/formula}} hervor.
6
7
8 Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{5} x^3-\frac{16}{5}x{{/formula}}.
9 (%class=abc%)
10 1. Berechne die Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=3{{/formula}}.
11 1. Begründe, dass die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=\frac{11}{5}x+\frac{54}{5}{{/formula}} auch Tangente an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} ist.
12 {{/aufgabe}}
13
Holger Engels 35.2 14 {{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt" afb="II" kompetenzen="K1, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="" zeit="10" cc="by"}}
Martin Stern 17.1 15 Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{5} x^3-\frac{16}{5}x{{/formula}}.
Holger Engels 35.3 16 (%class=abc%)
Martin Stern 15.1 17 1. Berechne die Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=3{{/formula}}.
Martin Stern 16.1 18 1. Begründe, dass die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}g(x)=\frac{11}{5}x+\frac{54}{5}{{/formula}} auch Tangente an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} ist.
Martin Stern 15.1 19 {{/aufgabe}}
Martin Stern 18.1 20
Martina Wagner 33.1 21 {{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt II" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" niveau="15" tags="" cc="by"}}
Martin Stern 18.1 22 Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=4-\frac{1}{2} e^x{{/formula}}.
Holger Engels 35.3 23 (%class=abc%)
Martin Stern 19.1 24 1. Zeichne {{formula}}K_f{{/formula}} für {{formula}}-3\leq x\leq 3{{/formula}} in ein Koordinatensystem ein.
Martin Stern 18.1 25 1. Berechne die Gleichung der Tangente {{formula}}t{{/formula}} in der Nullstelle der Funktion.
26 1. Begründe, dass die Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}y=4{{/formula}} keine Tangente an die Kurve {{formula}}K_f{{/formula}} ist.
27 1. Zeige: Alle Tangenten an {{formula}}K_f{{/formula}} haben negative Steigung.
28 {{/aufgabe}}
Martin Stern 20.1 29
Dirk Tebbe 43.2 30 {{aufgabe id="Tangente in einem Kurvenpunkt III" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="Dirk Tebbe, Martin Stern" zeit="12" niveau="" tags="" cc="by"}}
Dirk Tebbe 34.3 31
32 Eine Schülerin findet in ihren Unterlagen den nachfolgend abgebildeten Aufschrieb zu einer gelösten Aufgabe. Leider ist die dazu gehörende Aufgabenstellung verlorengegangen.
33 Hilf der Schülerin und erstelle eine zur Lösung passende Aufgabenstellung.
Holger Engels 35.3 34 (%class=abc%)
35 1. (((
Martin Stern 34.1 36 {{formula}}h(x)=cos(\frac{\pi}{4}x)+1{{/formula}}
37 {{formula}}h'(x)=\frac{\pi}{4}\cdot (-sin(\frac{\pi}{4}x))+1=-\frac{\pi}{4} sin(\frac{\pi}{4}x){{/formula}}
38 {{formula}}h'(6)=-\frac{\pi}{4}sin(\frac{\pi}{4}\cdot 6)=\frac{\pi}{4}{{/formula}}
39 {{formula}}h(6)=1{{/formula}}
Dirk Tebbe 42.3 40 Punkt-Steigungsform der Tangentengleichung:
41 {{formula}}y=h´(u)(x-u)+h(u){{/formula}}
42 {{formula}}y=h´(6)(x-6)+h(6){{/formula}}
43 {{formula}}y=\frac{\pi}{4}(x-6)+1{{/formula}}
Holger Engels 35.3 44 )))
45 1. (((
Martin Stern 34.1 46 {{formula}}h'(x)=m{{/formula}}
47 {{formula}}-\frac{\pi}{4} sin(\frac{\pi}{4}x)=2{{/formula}}
48 {{formula}}sin(\frac{\pi}{4}x)=-\frac{8}{\pi}{{/formula}}
49 Substituiere:{{formula}}\frac{\pi}{4}x=u{{/formula}}
50 {{formula}}sin(u)=-\frac{8}{\pi}{{/formula}}
51 {{formula}}-\frac{8}{\pi}<-1{{/formula}}
52 {{formula}}-\frac{8}{\pi}{{/formula}} liegt somit ausserhalb des Wertebereichs der Sinusfunktion.
53 Deswegen hat die Gleichung keine Lösung.
Holger Engels 35.3 54 )))
Martin Stern 20.1 55 {{/aufgabe}}
Holger Engels 36.1 56
Martina Wagner 42.1 57 {{aufgabe id="Polynomfunktionen" afb="III" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="5"}}
Holger Engels 39.1 58 Zeige, dass für alle Polynomfunktionen //f// der Form {{formula}}f(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0{{/formula}} gilt, dass {{formula}}a_1 x + a_0{{/formula}} eine Tangente an den Graphen an der Stelle //x = 0// ist.
Holger Engels 36.1 59 {{/aufgabe}}
60
Holger Engels 41.2 61 {{aufgabe id="Funktion gesucht" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Holger Engels" zeit="11" tags="problemlösen"}}
62 Bestimme einen Funktionsterm, dessen Graph an der Stelle //x = 2// die Tangente {{formula}}g(x)=\frac12 x+1{{/formula}} hat.
63 {{/aufgabe}}
64
Dirk Tebbe 47.2 65 {{aufgabe id="Tangente und Schnittpunkt" afb="3" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2024/abitur/pools2024/mathematik/mathematik%20grundlegend/2024_M_grundlege_3.pdf]]" zeit="15" niveau="g" tags="iqb"}}
Holger Engels 37.1 66 Gegeben ist die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=\frac{1}{2}\cdot x^2{{/formula}}.
67 Die Abbildung zeigt den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} sowie die Tangente {{formula}}t{{/formula}} an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(4\middle| f\left(4\right)\right){{/formula}}.
68 [[image:Tangentefunktionsschar.png||width="150" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
69 (%class=abc%)
70 1. Gib anhand der Abbildung eine Gleichung der Tangenten {{formula}}t{{/formula}} an.
Dirk Tebbe 47.1 71 1. Weise nach, dass für jeden Wert {{formula}}u\in\mathbb{R}{{/formula}} die Tangente an den Graphen von {{formula}}f{{/formula}} im Punkt {{formula}}\left(u\middle| f\left(u\right)\right){{/formula}} die y-Achse im Punkt {{formula}}S\left(0\middle|-f\left(u\right)\right){{/formula}} schneidet.
Holger Engels 37.1 72 {{/aufgabe}}
73
Nila Nurschams 46.1 74 {{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}