Lösung Integralfunktion2

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Am besten erhält man ein Gefühl für die Aufgabe, indem man verschiedene Funktionen zeichnet, die das Kriterium {{formula}} f'(x)>0 {{/formula}} für alle //x// verletzen.

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* Sobald es einen x-Wert mit negativer Steigung gibt, gibt es wegen der Knickfreiheit einen Bereich mit negativer Steigung und in diesem Bereich gilt: {{formula}} a<b \Rightarrow f(a)>f(b){{/formula}} , weswegen eine solche Funktion nicht streng monoton steigend sein kann.

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Also kann eine streng monoton steigende Funktion keinen //x//-Wert mit negativer Steigung haben.

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* Sobald ein ganzes Intervall {{formula}} [a,b]{{/formula}} (und sei es noch so klein) zwar keine negative Steigung aber immerhin die Steigung null hat, gilt für dieses Intervall: {{formula}} a<b \Rightarrow f(a)=f(b){{/formula}} , und wieder ist die Funktion nicht streng monoton steigend.

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Also kann eine streng monoton steigende Funktion keine konstanten Bereiche besitzen.

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[[image:f(x)=x^3 0,1.png ||style="float: right" width="200"]]

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* Als letzte Möglichkeit bleibt eine einzelne waagrechte Stelle, umgeben von lauter //x//-Werten mit positiver Steigung. (Als Beispiel könnte man {{formula}} f(x)=x^3 {{/formula}} an der Stelle {{formula}} x=0 {{/formula}} betrachten.)

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Wegen a<b muss jedoch ein (beliebig kleines) Intervall um //x// betrachtet werden. Da außer //x// alle Steigungen von f im Intervall positiv sind, folgt {{formula}} f(a)<f(b){{formula}} , und //f// bleibt streng monoton steigend.

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Also darf eine streng monoton steigende Funktion eine einzelne waagrechte Stelle besitzen.

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Die Aussage ist also wahr, z. B. für {{formula}} x=0{{/formula}} bei //f// mit {{formula}} f(x)=x^3{{/formula}} .

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__Bemerkung:__ Mit derselben Argumentation darf eine streng monoton steigende Funktion beliebig viele einzelne waagrechte Stelle besitzen.

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Weitere Bemerkung:__ Man kann auch durch Aufleitung von f‘ argumentieren: Für alle a<b gilt \int_{a}^{b}{f^\prime\left(x\right)dx=f\left(b\right)-f\left(a\right)>0}, denn der Graph K von f\prime bildet in jedem Intervall [a;b] eine positiv orientierte Integralfläche, auch wenn K einzelne Nullstellen besitzt. Somit folgt f\left(b\right)>f(a).

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