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Wiki-Quellcode von Lösung Monotonie

Zuletzt geändert von akukin am 2023/11/20 10:25
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1 Am besten erhält man ein Gefühl für die Aufgabe, indem man verschiedene Funktionen zeichnet, die das Kriterium {{formula}} f'(x)>0 {{/formula}} für alle //x// verletzen.
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4 * Sobald es einen //x//-Wert mit negativer Steigung gibt, gibt es wegen der Knickfreiheit einen Bereich mit negativer Steigung und in diesem Bereich gilt: {{formula}} a<b \Rightarrow f(a)>f(b){{/formula}} , weswegen eine solche Funktion nicht streng monoton steigend sein kann.
5 Also kann eine streng monoton steigende Funktion keinen //x//-Wert mit negativer Steigung haben.
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7 * Sobald ein ganzes Intervall {{formula}} [a,b]{{/formula}} (und sei es noch so klein) zwar keine negative Steigung aber immerhin die Steigung null hat, gilt für dieses Intervall: {{formula}} a<b \Rightarrow f(a)=f(b){{/formula}} , und wieder ist die Funktion nicht streng monoton steigend.
8 Also kann eine streng monoton steigende Funktion keine konstanten Bereiche besitzen.
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10 [[image:x^3.png||style="float: right" width="350"]]
11 * Als letzte Möglichkeit bleibt eine einzelne waagrechte Stelle, umgeben von lauter //x//-Werten mit positiver Steigung. (Als Beispiel könnte man {{formula}} f(x)=x^3 {{/formula}} an der Stelle {{formula}} x=0 {{/formula}} betrachten.)
12 Wegen {{formula}}a<b{{/formula}} muss jedoch ein (beliebig kleines) Intervall um //x// betrachtet werden. Da außer //x// alle Steigungen von f im Intervall positiv sind, folgt {{formula}} f(a)<f(b){{/formula}} , und //f// bleibt streng monoton steigend.
13 Also darf eine streng monoton steigende Funktion eine einzelne waagrechte Stelle besitzen.
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18 Die Aussage ist also wahr, z. B. für {{formula}} x=0{{/formula}} bei //f// mit {{formula}} f(x)=x^3{{/formula}} .
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23 [[image:x^3mitAbleitung.png||style="float: right" width="300"]]
24 __Bemerkung:__ Mit derselben Argumentation darf eine streng monoton steigende Funktion beliebig viele einzelne waagrechte Stelle besitzen.
25 __
26 Weitere Bemerkung:__ Man kann auch durch Aufleitung von {{formula}}f'{{/formula}} argumentieren: Für alle {{formula}}a<b{{/formula}} gilt {{formula}}\int_a^b f'(x)dx=f(b)-f(a)>0{{/formula}}, denn der Graph //K// von {{formula}}f'{{/formula}} bildet in jedem Intervall {{formula}}[a,b] {{/formula}}eine positiv orientierte Integralfläche, auch wenn //K// einzelne Nullstellen besitzt. Somit folgt {{formula}} f(b)<f(a){{/formula}} .