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Wiki-Quellcode von BPE 13 Einheitsübergreifend

Version 34.1 von akukin am 2024/03/26 23:14
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Holger Engels 6.1 1 {{seiteninhalt/}}
2
Holger Engels 8.1 3 {{aufgabe id="Uneigentliches Integral" afb="III" kompetenzen="K2, K5" niveau="p" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="40"}}
Holger Engels 1.1 4 Betrachtet wird für negative rationale Zahlen //q// die Potenzfunktion //p// mit {{formula}}p(x)=x^q;\: x\neq 0{{/formula}}.
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6 Für {{formula}}b \rightarrow \infty{{/formula}} heißt {{formula}}U_q=\int_1^b{p(x)}\cdot dx{{/formula}} //uneigentliches Integral// über //p//, falls {{formula}}U_q{{/formula}} eine reelle Zahl ergibt.
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8 Überprüfe, für welche Werte von //q// das uneigentliche Integral {{formula}}U_q{{/formula}} existiert.
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10 [[image:x hoch minus 2.png]]
11 {{/aufgabe}}
Holger Engels 3.1 12
Holger Engels 7.1 13 {{aufgabe id="Annäherung" afb="III" kompetenzen="K2, K5, K4" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}}
Holger Engels 3.1 14 [[image:cos und pot.png|| style="float: right" width="320"]]In {{formula}}[0; \pi/2]{{/formula}} soll die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=\cos{x}{{/formula}} durch eine Potenzfunktion //g// mit {{formula}}g(x)=1-ax^q{{/formula}} angenähert werden, wobei //q// eine positive rationale Zahl ist und //a// so gewählt wird, dass der Graph von //g// ebenfalls bei //π/2// eine Nullstelle besitzt.
15
16 (% style="list-style: alphastyle" %)
17 1. Bestimme //a// in Abhängigkeit von //q//.
18 1. (((Begründe, weshalb ein kleiner Wert des Integrals
19
20 {{formula}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)-g(x)\cdot dx{{/formula}}
21
22 ein guter Hinweis dafür ist, dass //g// eine gute Näherung für //f// ist.
23 )))
24 1. Finde eine Potenzfunktion //g//, die //f// gemäß des Kriteriums von b) gut annähert.
25
26 (Bonus: Stelle //f// und die Annäherung aus c) mit Geogebra dar und berechne die durchschnittliche Abweichung von //f// und der Annäherungsfunktion.)
27 {{/aufgabe}}
Holger Engels 6.1 28
akukin 11.1 29 {{aufgabe id="Steigung, Volumen" afb="" kompetenzen="K1, K2, K4, K5, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_A_10.pdf]]" niveau="e" tags="iqb"}}
30 [[image:GraphSteigungVolumen.PNG||width="170" style="float: right"]]
31 Die Abbildung zeigt den Graphen einer in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}f{{/formula}}.
32 1. Beurteile die folgende Aussage:
33 //Für jeden Wert von {{formula}}x{{/formula}} mit {{formula}}0\leq x\leq 2{{/formula}} ist die Steigung des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} kleiner als 3.//
34 1. Mit dem Term {{formula}}\pi\cdot\int\limits_{0}^{2}{\left(f\left(x\right)\right)^2\mathrm{d} x}{{/formula}}
35 kann das Volumen eines Körpers berechnet werden.
36 Begründe, dass dieses Volumen größer als {{formula}}\pi\cdot{0,5}^2+\pi\cdot1^2{{/formula}} ist.
37 {{/aufgabe}}
38
akukin 33.1 39 {{aufgabe id="Stau MMS" afb="I, II, III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_B_6.pdf]]" niveau="e" tags="iqb"}}
40 1. Auf einer Autobahn entsteht morgens an einer Baustelle häufig ein Stau.
akukin 32.1 41 An einem bestimmten Tag entsteht der Stau um 06:00 Uhr und löst sich bis 10:00 Uhr vollständig auf. Für diesen Tag kann die momentane Änderungsrate der Staulänge mithilfe der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktion {{formula}}f{{/formula}} mit {{formula}}f\left(x\right)=x\cdot\left(8-5x\right)\cdot\left(1-\frac{x}{4}\right)^2{{/formula}} beschrieben werden. Dabei gibt {{formula}}x{{/formula}} die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und {{formula}}f\left(x\right){{/formula}} die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde an.
akukin 33.4 42
akukin 33.1 43 (% style="list-style: lower-alpha" %)
akukin 33.3 44 1. Nenne die Zeitpunkte, zu denen die momentane Änderungsrate der Staulänge den Wert null hat, und begründe anhand der Struktur des Funktionsterms von f, dass es keine weiteren solchen Zeitpunkte gibt.
45 1. Es gilt {{formula}}f\left(2\right)<0{{/formula}}. Gib die Bedeutung dieser Tatsache im Sachzusammenhang an.
46 1. Bestimme den Zeitpunkt, zu dem die Staulänge am stärksten zunimmt. Zeige, dass der zugehörige Wert der momentanen Änderungsrate zwischen 2 km/h und 3 km/h liegt.
47 1. Gib den Zeitpunkt an, zu dem der Stau am längsten ist. Begründe deine Angabe.
akukin 12.1 48
akukin 13.1 49 Im Sachzusammenhang ist neben der Funktion {{formula}}f{{/formula}} die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierte Funktion {{formula}}s{{/formula}} mit {{formula}}s\left(x\right)=\left(\frac{x}{4}\right)^2\cdot\left(4-x\right)^3{{/formula}} von Bedeutung.
akukin 33.1 50 (% style="list-style: lower-alpha" start="5" %)
akukin 33.2 51 1. Begründe, dass die folgende Aussage richtig ist:
akukin 14.2 52 //Die Staulänge kann für jeden Zeitpunkt von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch die Funktion {{formula}}s{{/formula}} angegeben werden.//
akukin 12.1 53 Bestätige rechnerisch, dass sich der Stau um 10:00 Uhr vollständig aufgelöst hat.
akukin 33.2 54 1. Berechne die Zunahme der Staulänge von 06:30 Uhr bis 08:00 Uhr und bestimmen Sie für diesen Zeitraum die durchschnittliche Änderungsrate der Staulänge.
55 1. Bestimme denjenigen Zeitpunkt zwischen 06:00 Uhr und 10:00 Uhr, zu dem
akukin 32.1 56 die Staulänge 0,5 km geringer ist als eine Stunde vorher.
57 [[image:GraphStau.png||width="250" style="float: right"]]
akukin 33.2 58 1. Für einen anderen Tag wird die momentane Änderungsrate der Staulänge für den Zeitraum von 06:00 Uhr bis 10:00 Uhr durch den in der Abbildung 1 gezeigten Graphen dargestellt. Dabei ist //x// die nach 06:00 Uhr vergangene Zeit in Stunden und //y// die momentane Änderungsrate der Staulänge in Kilometer pro Stunde.
akukin 33.1 59 Um 07:30 Uhr hat der Stau eine bestimmte Länge. Es gibt einen anderen Zeitpunkt, zu dem der Stau die gleiche Länge hat. Markieren Sie diesen Zeitpunkt in der //Abbildung 1//, begründe deine Markierung und veranschauliche deine Begründung in der //Abbildung 1//.
akukin 12.1 60
akukin 33.1 61 (% style="list-style:" start="2" %)
62 1. Betrachtet wird die Schar der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen {{formula}}h_k{{/formula}} mit {{formula}}h_k\left(x\right)=\left(x-3\right)^k+1{{/formula}} und {{formula}}k\in\mathbb{N}\setminus\left\{0\right\}{{/formula}}.
akukin 33.4 63
akukin 33.1 64 (% style="list-style: lower-alpha" %)
akukin 33.4 65 1. Das Verhalten von {{formula}}h_k{{/formula}} für {{formula}}x\rightarrow-\infty{{/formula}} ist abhängig von {{formula}}k{{/formula}}. Gib die dabei auftretenden Fälle des Verhaltens und für diese Fälle jeweils einen passenden Wert von {{formula}}k{{/formula}} an. Begründe jeweils die Angabe des Werts von {{formula}}k{{/formula}}.
66 1. Ermittle die Koordinaten derjenigen Punkte, die alle Graphen der Schar gemeinsam haben.
67 1. Die erste Ableitungsfunktion von {{formula}}h_k{{/formula}} wird mit {{formula}}h_k^\prime{{/formula}} bezeichnet. Beurteile die folgende Aussage:
akukin 15.1 68 //Es gibt genau einen Wert von {{formula}}k{{/formula}}, für den der Graph von {{formula}}h_k^\prime{{/formula}} Tangente an den Graphen von {{formula}}h_k{{/formula}} ist.//
akukin 33.4 69 1. Die Graphen von {{formula}}h_k{{/formula}} und {{formula}}h_k^\prime{{/formula}} werden in der Abbildung 2 für {{formula}}k=4{{/formula}} beispielhaft für gerade Werte von {{formula}}k{{/formula}} gezeigt, in der Abbildung 3 für {{formula}}k=5{{/formula}} beispielhaft für ungerade Werte von {{formula}}k{{/formula}}.
akukin 16.3 70 [[image:Stau2.png||width="320" style="float: left"]]
71
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78
akukin 15.1 79 Für {{formula}}k\geq4{{/formula}} werden die Punkte {{formula}}P\left(4\middle| h_k\left(4\right)\right),Q\left(4\middle| h_k^\prime\left(4\right)\right),R\left(2\middle| h_k\left(2\right)\right){{/formula}} und {{formula}}S\left(2\middle| h_k^\prime\left(2\right)\right){{/formula}} betrachtet. Diese Punkte sind jeweils Eckpunkte eines Vierecks. Begründe, dass jedes dieser Vierecke ein Trapez ist, und zeige, dass die folgende Aussage richtig ist:
akukin 16.3 80 //Für jeden geraden Wert von von {{formula}}k{{/formula}} mit {{formula}}k\geq4{{/formula}} stimmen der Flächeninhalt des Trapezes für {{formula}}k{{/formula}} und der Flächeninhalt des Trapezes für {{formula}}k+1{{/formula}} überein.//
akukin 15.1 81 {{/aufgabe}}
akukin 16.2 82
akukin 17.1 83 {{aufgabe id="Schalldruck1" afb="I, II, III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_B_7.pdf]]" niveau="e" tags="iqb"}}
akukin 20.1 84 [[image:Schalldruckabb1.png||width="230" style="float: right"]]
85 Gegeben ist die Schar der in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen {{formula}}f_a:\ x\mapsto e^x\cdot\left(x-a\right)^2{{/formula}} mit {{formula}}a\in\mathbb{R}{{/formula}}. Der Graph von {{formula}}f_a{{/formula}} wird mit {{formula}}G_a{{/formula}} bezeichnet. Jeder Graph der Schar hat genau einen Hochpunkt und genau einen Tiefpunkt. Die //Abbildung 1// zeigt {{formula}}G_\frac{3}{2}{{/formula}}.
86
akukin 17.1 87 1. {{formula}}G_\frac{3}{2}{{/formula}} nimmt in einem seiner Wendepunkte seine kleinste Steigung an. Bestimme diese Steigung rechnerisch.
88 1. {{formula}}G_a{{/formula}} hat mit jeder der beiden Koordinatenachsen genau einen gemeinsamen Punkt. Gib die Koordinaten dieser Punkte an und begründe, dass der gemeinsame Punkt mit der x-Achse der Tiefpunkt von {{formula}}G_a{{/formula}} ist.
89 1. Es gibt einen positiven Wert von {{formula}}a{{/formula}}, für den {{formula}}G_a{{/formula}} und die Koordinatenachsen eine Fläche mit dem Inhalt 3 einschließen. Bestimme diesen Wert von {{formula}}a{{/formula}}.
90 1. Für jeden Wert von {{formula}}a{{/formula}} mit {{formula}}a\neq0{{/formula}} schließt die Gerade durch die beiden Extrempunkte von {{formula}}G_a{{/formula}} mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Berechne denjenigen Wert von {{formula}}a{{/formula}}, für den dieses Dreieck gleichschenklig ist.
akukin 20.1 91
akukin 21.1 92 Betrachtet werden die in {{formula}}\mathbb{R}{{/formula}} definierten Funktionen {{formula}}f_{a,b}:\ x\mapsto e^x\cdot\left(\left(x-a+b\right)^2-b\right){{/formula}} mit {{formula}}a,b\in\mathbb{R}{{/formula}}. Es gilt {{formula}}f_{a,0}\left(x\right)=f_a\left(x\right){{/formula}}. Der Graph von {{formula}}f_{a,b}{{/formula}}wird mit {{formula}}G_{a,b}{{/formula}} bezeichnet.
93 (% style="list-style:" start="5" %)
94 1. Für positive Werte von {{formula}}b{{/formula}} hat {{formula}}G_{a,b}{{/formula}} zwei Schnittpunkte mit der x-Achse. Für jeden Wert von {{formula}}a{{/formula}} wird der Abstand dieser beiden Schnittpunkte betrachtet. Zeige rechnerisch, dass dieser Abstand unabhängig von {{formula}}a{{/formula}} ist.
akukin 17.1 95
96 Erhöht man im Term von {{formula}}f_{a,b}{{/formula}} den Wert von {{formula}}b{{/formula}} um 1, so erhält man einen Term der ersten Ableitungsfunktion von {{formula}}f_{a,b}{{/formula}}. Es gilt also {{formula}}f_{a,b}^\prime\left(x\right)=f_{a,b+1}\left(x\right){{/formula}}.
akukin 21.1 97 (% style="list-style:" start="6" %)
98 1. Die //Abbildung 2// zeigt für einen bestimmten Wert von {{formula}}a{{/formula}} die Graphen zweier Funktionen der Schar, bei denen sich die Werte von {{formula}}b{{/formula}} um 1 unterscheiden. Entscheide, welcher der beiden Graphen I und II zum größeren Wert von {{formula}}b{{/formula}} gehört, und begründe deine Entscheidung.
akukin 20.1 99 [[image:Schalldruckabb2.png||width="180" style="float: left"]]
akukin 17.1 100
akukin 20.1 101
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akukin 21.1 108 (% style="list-style:" start="7" %)
109 1. Für jeden Wert von {{formula}}a{{/formula}} gilt {{formula}}f_{a,0}\left(a\right)=0\ \land\ f_{a,1}\left(a\right)=0\ \land\ f_{a,2}\left(a\right)\neq0{{/formula}}. Gib die Bedeutung dieser Tatsache für die Graphen der Funktion {{formula}}f_{a,-1}{{/formula}} an.
akukin 17.1 110
111 {{/aufgabe}}
112
akukin 23.1 113 {{aufgabe id="Schalldruck2" afb="II, III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_B_7.pdf]]" niveau="e" tags="iqb"}}
114 Der Schalldruckpegel eines bestimmten Wecktons wird durch die in {{formula}}\left[0;4\right]{{/formula}} definierte Funktion
akukin 23.2 115
116 {{formula}}
117 h: x\mapsto
118 \begin{cases}
akukin 23.5 119 20 \cdot \sin(x) \ &\text{für} \ 0 \leq x \leq 2 \\
120 20 \cdot \sin(x-2) +20 \cdot \sin(2) \ &\text{für} \ 2<x\leq 4
akukin 23.2 121 \end{cases}
122 {{/formula}}
123
akukin 23.4 124 beschrieben. Dabei ist {{formula}}x{{/formula}} die seit Beginn des Wecktons vergangene Zeit in Sekunden und {{formula}}h\left(x\right){{/formula}} der Schalldruckpegel in Dezibel (dB). Die //Abbildung 3// zeigt einen Teil des Graphen von {{formula}}h{{/formula}}.
akukin 23.2 125 [[image:Schalldruckabb3.png||width="150" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
126 1. Zeige, dass der Graph von {{formula}}h{{/formula}} bei {{formula}}x=2{{/formula}} keinen Sprung aufweist, und vervollständige den Graphen von {{formula}}h{{/formula}} in der //Abbildung 3//.
akukin 23.1 127 1. Berechne den Zeitpunkt, zu dem der Weckton den größten Schalldruckpegel hat, und gib diesen Schalldruckpegel an.
128 1. Berechne unter Verwendung der folgenden Information den durchschnittlichen Funktionswert von {{formula}}h{{/formula}}.
akukin 23.6 129 //Der durchschnittliche Funktionswert von {{formula}}h{{/formula}} im Intervall {{formula}}\left[a;b\right]{{/formula}} stimmt mit der Höhe eines Rechtecks überein, das die beiden folgenden Eigenschaften hat:
130 • Das Rechteck hat die Breite {{formula}}b-a{{/formula}}.
131 • Das Rechteck hat den gleichen Inhalt wie die Fläche, die für {{formula}}a\le x\le b{{/formula}} zwischen dem Graphen von {{formula}}h{{/formula}} und der x-Achse liegt. //
akukin 23.2 132 (% style="list-style:" start="4" %)
akukin 23.5 133 1. Dem Graphen von {{formula}}h{{/formula}} ist zu entnehmen, dass der Weckton bestimmte Schalldruckpegel mehr als einmal annimmt. Zwei Zeitpunkte mit gleichem Schalldruckpegel haben jeweils einen bestimmten Abstand. Bestimme rechnerisch den größten dieser Abstände.
akukin 23.1 134
135 {{/aufgabe}}
136
akukin 24.2 137 {{aufgabe id="Hängebrücke" afb="I, II, III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5, K6" quelle="[[IQB>>https://www.iqb.hu-berlin.de/abitur/pools2023/abitur/pools2023/mathematik/erhoeht/2023_M_erhoeht_B_9.pdf]]" niveau="e" tags="iqb"}}
138 Die //Abbildung 1// zeigt schematisch die achsensymmetrische Seitenansicht einer Hängebrücke. Die beiden vertikalen Pfeiler haben einen Abstand von 400 m. Die Wasseroberfläche liegt 20 m unterhalt der Fahrbahn.
akukin 28.1 139 [[image:Hängebrücke.PNG||width="650" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
akukin 24.2 140 Die beiden Pfeiler gliedern die Brücke in einen linken, einen mittleren und einen rechten Abschnitt. Am oberen Ende jedes Pfeilers ist sowohl das Tragseil des mittleren Abschnitts als auch das Abspannseil des linken bzw. rechten Abschnitts befestigt. Die beiden Abspannseile sind am jeweiligen Ende der Fahrbahn verankert.
141 Im verwendeten Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit 10 m in der Realität.
142 In der Seitenansicht der Brücke verläuft die x-Achse entlang der horizontal verlaufenden Fahrbahn, die y-Achse entlang der Symmetrieachse.
143 1. Im rechten Abschnitt der Brücke wird der Verlauf des Abspannseils modellhaft durch
144 den Funktionsterm {{formula}}r(x)=\frac{253}{100}\cdot \left(e^{\frac{1}{11}\cdot (32-x)}-1 \right){{/formula}} beschrieben.
akukin 24.3 145 (% style="list-style: lower-alpha" %)
146 1*. Zeige, dass die Fahrbahn der Brücke insgesamt 640 m lang ist.
147 1*. Auch im linken Abschnitt der Brücke kann der Verlauf des Abspannseils im Modell durch einen Funktionsterm beschrieben werden. Gib einen passenden Term {{formula}}l(x){{/formula}} sowie das Intervall an, in dem dieser Term das Abspannseil darstellt.
148 1*. Berechne die Höhe der Pfeiler über der Wasseroberfläche.
149 1*. Berechne die Größe des Winkels, unter dem das rechte Abspannseil auf den zugehörigen Pfeiler trifft
150 1*. In der Seitenansicht begrenzen der rechte Pfeiler, das zugehörige Abspannseil und die Fahrbahn ein Flächenstück. Berechne dessen Inhalt in der Realität.
151 1. Im Folgenden wird der mittlere Abschnitt der Brücke betrachtet. Die vertikal verlaufenden Halteseile verbinden die Fahrbahn mit dem Tragseil. Man hat sowohl von den Pfeilern als auch untereinander einen horizontalen Abstand von 16 m.
152 Der Verlauf des Tragseils wird modellhaft durch den Funktionsterm {{formula}}s(x)=\left(\frac{1}{8}\right)^6\cdot \left(x^4+2560x^2\right)+\frac{125}{256}{{/formula}} beschrieben.
153 (% style="list-style: lower-alpha" %)
akukin 25.3 154 1*. Begründe, dass der Term von {{formula}}s{{/formula}} damit in Einklang steht, dass die Seitenansicht der Brücke achsensymmetrisch ist.
akukin 24.3 155 1*. Zwei Punkte des Tragseils in der rechten Hälfte des mittleren Abschnitts haben einen horizontalen Abstand von 40 m und einen Höhenunterschied von 5 m. Gib eine Gleichung an, deren Lösung die x-Koordinate des höher liegenden Punkts im Modell ist.
156 1*. Gib die Bedeutung des Terms {{formula}}\left(\sum\limits_{k=1}^{24}s(-20+1,6\cdot k)\right)\cdot 10{{/formula}} im Sachzusammenhang an und begründe deine Angabe.
akukin 25.2 157 1*. Die Lösung der Gleichung {{formula}}\frac{s(x)-0}{x-20}\cdot s^\prime(x)=-1{{/formula}}ermöglicht die Berechnung eines Abstands im Sachzusammenhang. Gib an, um welchen Abstand es sich handelt, und begründe deine Angabe.
akukin 25.3 158 1*. [[image:KreisbogenHängebrücke.PNG||width="220" style="float: right"]]
159 Der Verlauf des Tragseils kann näherungsweise durch einen Kreisbogen beschrieben werden. Dazu dient der Kreis mit dem Mittelpunkt {{formula}}M\left(0|\frac{1699}{36}\right){{/formula}}, der durch die Punkte {{formula}}A\left(-20|5\right), B\left(20|5\right) \ \text{und} \ C\left(0|\frac{1}{2}\right){{/formula}} verläuft //(vgl. Abbildung 2)//. Berechne unter Verwendung des Kreisbogens die Länge des Tragseils.
akukin 24.2 160 {{/aufgabe}}
161
Holger Engels 6.1 162 {{seitenreflexion/}}