Änderungen von Dokument Lösung Sinusgraph

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -3,17 +3,19 @@
3	3	Der Graph {{formula}}G_f{{/formula}}, die <i>x</i>-Achse sowie die Geraden mit den Gleichungen {{formula}}x=-2{{/formula}} und {{formula}}x=8{{/formula}} schließen eine Fläche ein, deren Teil unterhalb der <i>x</i>-Achse einen kleineren Inhalt besitzt als deren Teil oberhalb. Deshalb ist der Wert des Integrals nicht negativ.
4	4	{{/detail}}
5	5
	6	+
6	6	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
7	7	Für beide Teilflächen unterhalb der <i>x</i>-Achse gibt es symmetrisch zur jeweiligen Nullstelle eine gleichgroße Teilfläche oberhalb der <i>x</i>-Achse (rot und blau). Die grüne Teilfläche bleibt übrig und zählt positiv zum Integral.
8		-
	9	+[[image:Sinusflaecheloesung.png||width="400" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
	10	+<br>
9	9	Die Aufgabe könnte auch rechnerisch gelöst werden:
10	10
11	11	{{formula}}
12		-\begin{align}
	14	+\begin{align*}
13	13	\int_{-2}^{8}{2\cdot\sin{\left(\frac{1}{2}x\right)}\mathrm{d} x}&=\left[-4\cdot\cos{\left(\frac{1}{2}x\right)}\right]_{-2}^8 \\
14	14	&=-4\cdot\cos{\left(4\right)}-\left(-4\cdot\cos{\left(-1\right)}\right) \\
15	15	&=-4\cdot\cos{\left(4\right)}+4\cdot\cos{\left(-1\right)}
16		-\end{align}
	18	+\end{align*}
17	17	{{/formula}}
18	18
19	19	Jedoch ist das Vorzeichen dieses Rechenergebnisses ohne Taschenrechner nur schwer zu ermitteln.
...	...	@@ -24,6 +24,7 @@
24	24	Wegen {{formula}}f^\prime\left(x\right)=\cos{\left(\frac{1}{2}x\right)}, f^\prime\left(0\right)=1{{/formula}} und {{formula}}f\left(0\right)=0{{/formula}} besitzt die Tangente an {{formula}}G_f{{/formula}} im Koordinatenursprung die Gleichung {{formula}}y=x{{/formula}}, die auch die Gerade durch die beiden gegebenen Punkte beschreibt.
25	25	{{/detail}}
26	26
	29	+
27	27	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
28	28	Die Tangentengleichung kann mit folgender Formel ermittelt werden:
29	29	<br>
...	...	@@ -42,6 +42,8 @@
42	42	{{formula}}f^\prime\left(0\right)=\cos{\left(0\right)}=1{{/formula}}
43	43	<br>
44	44	Folglich lautet die Gleichung der Tangente:
	48	+<br>
45	45	{{formula}}y=x{{/formula}}
	50	+<br>
46	46	Zwei Punktproben mit den Punkten {{formula}}\left(-1\middle|-1\right){{/formula}} und {{formula}}\left(1\middle|1\right){{/formula}} liefern wahre Aussagen, das heißt die Punkte liegen auf der Tangente.
47	47	{{/detail}}