Änderungen von Dokument Lösung Stau2

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Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,3 +1,32 @@
	1	+1. {{formula}}x_1=0;x_2=\frac{8}{5};x_3=4{{/formula}} sind die einzigen Nullstellen von {{formula}}f{{/formula}}, denn der Funktionsterm ist in Produktform und hat drei Faktoren, die jeweils für diese Werte von {{formula}}x{{/formula}} null werden.
	2	+Zeitpunkte: 6:00 Uhr; 7:36 Uhr; 10:00 Uhr
	3	+1. Um 8:00 Uhr nimmt die Länge des Staus ab.
	4	+1. {{formula}}
	5	+f\left(x\right)=-\frac{5}{16}x^4+3x^3-9x^2+8x\ \ \ \Rightarrow\ \ \ f^\prime\left(x\right)=-\frac{5}{4}x^3+9x^2-18x+8{{/formula}}
	6	+{{formula}}f^\prime\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x_1=\frac{8}{5}-\frac{2}{5}\sqrt{6} \approx 0,6202;\ \ x_2=\frac{8}{5}+\frac{2}{5}\sqrt{6}\approx2,5798;\ \ x_3=4{{/formula}}
	7	+{{formula}}
	8	+f\left(0\right)=0;\ \ f\left(x_1\right)\approx2,169;\ \ f\left(x_2\right)\approx-1,593;\ \ f\left(x_3\right)=0{{/formula}}
	9	+Damit nimmt die Staulänge etwa 0,6202 Stunden nach 06:00 Uhr, das heißt um 6:37 Uhr, am stärksten zu. Die Änderungsrate beträgt zu diesem Zeitpunkt 2,169 km/h.
	10	+1. Zwischen 6:00 Uhr und 7:36 Uhr verläuft der Graph von {{formula}}f{{/formula}} über der x-Achse. Da die Staulänge das Integral über {{formula}}f\left(x\right){{/formula}} zwischen {{formula}}x=0{{/formula}} und dem aktuellen Zeitpunkt ist, muss der Stau um 7:36 Uhr am längsten sein.
	11	+1. Die Aussage ist richtig, wenn gilt, dass die Funktion {{formula}}s{{/formula}} die Integralfunktion über {{formula}}f\left(t\right){{/formula}} mit der unteren Grenze {{formula}}t=0{{/formula}} (6:00 Uhr) ist:
	12	+{{formula}}s\left(x\right)=\int_{0}^{x}{f\left(t\right)\mathrm{d} t}{{/formula}}
	13	+Der Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung besagt:
	14	+{{formula}}\left(\int_{0}^{x}{f\left(t\right)\mathrm{d} t}\right)^\prime=f\left(x\right){{/formula}}
	15	+Also muss gelten: {{formula}}s^\prime\left(x\right)=f\left(x\right){{/formula}}
	16	+{{formula}}s\left(x\right)=-\frac{1}{16}x^5+\frac{3}{4}x^4-3x^3+\ 4x^2\ \ \ \Rightarrow\ \ \ s^\prime\left(x\right)=-\frac{5}{16}x^4+3x^3-9x^2+8x=f\left(x\right){{/formula}}
	17	+Zudem muss gelten: {{formula}}s\left(0\right)=0{{/formula}}
	18	+Da beide Voraussetzungen erfüllt sind, gibt {{formula}}s\left(x\right){{/formula}} tatsächlich die Staulänge wieder.
	19	+Zudem gilt {{formula}}s\left(4\right)=0{{/formula}}, das heißt der Stau hat sich nach vier Stunden (um 10:00 Uhr) aufgelöst.
	20	+1. {{formula}}\bar{m}=\frac{1}{2-0,5}\cdot\int_{0,5}^{2}{f\left(x\right)\mathrm{d} x}=\ \frac{1}{1,5}\cdot\left(s\left(2\right)-s\left(0,5\right)\right)=\frac{2}{3}\left(2-\frac{343}{512}\right)=\frac{227}{256}\approx0,8867{{/formula}}
	21	+1. {{formula}}s\left(x\right)+0,5=s\left(x-1\right){{/formula}}
	22	+MMS: {{formula}}x_1=0,5299;\ x_2=2,3195;\ x_3=4,049;\ x_4=4,701{{/formula}}
	23	+Nur für {{formula}}x_2{{/formula}} sind beide Zeitpunkte im Definitionsbereich.
	24	+Der gesuchte Zeitpunkt ist 8:19 Uhr.
	25	+1. [[image:LösungGraphStau.png||width="220" style="float: left"]]
	26	+
	27	+Die Inhalte der Flächen, die der Graph mit der x-Achse für {{formula}}1,5\le x\le a{{/formula}} und {{formula}}a\le x\le b{{/formula}} einschließt, müssen übereintimmen.
	28	+
	29	+
1	1	1. Die Graphen von {{formula}}h_k{{/formula}} sind Parabeln //k//-ter Ordnung (im Falle von {{formula}}k=1{{/formula}} eine Gerade), die um 3 nach rechts und um 1 nach oben verschoben wurden.
2	2	Für gerade //k// gilt: {{formula}}x\rightarrow\pm\infty \ \Rightarrow \ h_k\left(x\right)\rightarrow+\infty{{/formula}}
3	3	Für ungerade //k// gilt: {{formula}}x\rightarrow\pm\infty\ \Rightarrow\ \ h_k\left(x\right)\rightarrow\pm\infty{{/formula}}
...	...	@@ -7,21 +7,21 @@
7	7	{{formula}}h_2\left(x\right)=\left(x-3\right)^2+1=x^2-6x+10\ \ \Rightarrow\ \ h_2^\prime\left(x\right)=2x-6{{/formula}}
8	8	{{formula}}h_2\left(x\right)=h_2^\prime\left(x\right)\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2-8x+16=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left(x-4\right)^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=4{{/formula}}
9	9	Also berühren sich die Graphen von {{formula}}h_2{{/formula}} und {{formula}}h_2^\prime{{/formula}} bei {{formula}}x=4{{/formula}}.
10		-1. Diese Vierecke sind Trapeze, da {{formula}}Q{{/formula}} und {{formula}}P{{/formula}} bzw. {{formula}}R{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}} gleiche x-Koordinaten besitzen und damit {{formula}}QP{{/formula}} und {{formula}}RS{{/formula}} senkrecht verlaufen, also parallel zueinander sind.
	39	+1. Diese Vierecke sind Trapeze, da {{formula}}Q{{/formula}} und {{formula}}P{{/formula}} bzw. {{formula}}R{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}} gleiche x-Koordinaten besitzen und damit {{formula}}\overline{QP}{{/formula}} und {{formula}}\overline{RS}{{/formula}} senkrecht verlaufen, also parallel zueinander sind.
11	11
12	12	Zur Aussage:
13	13
14	14	Da die x-Koordinaten sowieso gleich sind, haben die besagten Trapeze alle dieselbe Höhe. Es muss folglich nur noch gezeigt werden, dass für die parallelen Seiten gilt:
15		-{{formula}}\frac{\overline{R_kS_k}+\overline{Q_kP_k}}{2}=\frac{\overline{R_{k+1}S_{k+1}}+\overline{Q_{k+1}P_{k+1}}}{2}{{/formula}}
16	16
17	17	{{formula}}
18	18	\begin{align*}
19		-h_k\left(2\right)-h_k^\prime\left(2\right)+h_k^\prime\left(4\right)-h_k\left(4\right) &=h_{k+1}^\prime\left(2\right)-h_{k+1}\left(2\right)+h_{k+1}^\prime\left(4\right)-h_{k+1}\left(4\right) \\
20		-\left(-1\right)^k+1-k\left(-1\right)^{k-1}+k-1-1 &=\left(k+1\right)\left(-1\right)^k-\left(-1\right)^{k+1}-1+k+1-1-1
	47	+\frac{\overline{R_kS_k}+\overline{Q_kP_k}}{2}&=\frac{\overline{R_{k+1}S_{k+1}}+\overline{Q_{k+1}P_{k+1}}}{2} \\
	48	+\Leftrightarrow \quad \; h_k\left(2\right)-h_k^\prime\left(2\right)+h_k^\prime\left(4\right)-h_k\left(4\right) &=h_{k+1}^\prime\left(2\right)-h_{k+1}\left(2\right)+h_{k+1}^\prime\left(4\right)-h_{k+1}\left(4\right) \\
	49	+\Leftrightarrow \left(-1\right)^k+1-k\left(-1\right)^{k-1}+k-1-1 &=\left(k+1\right)\left(-1\right)^k-\left(-1\right)^{k+1}-1+k+1-1-1
21	21	\end{align*}
22	22	{{/formula}}
23	23
24		-Da k gerade ist:
	53	+Da //k// gerade ist:
25	25
26	26	{{formula}}
27	27	\begin{align*}