BPE 14.1 Aufstellen von Funktionstermen

1  Polynomfunktion Grad 4  (20 min) 𝕃

Der Graph einer Funktion f vierten Grades ist achsensymmetrisch zur y-Achse, hat einen Hochpunkt bei \( x = 2 \) und besitzt eine Tangente mit der Steigung 24 im Punkt \(P(1 \mid 9)\). Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von f.

2  Funktionsterm aus Wertetabelle  (15 min) 𝕃

Die folgende Tabelle enthält Funktionswerte und Werte der ersten beiden Ableitungen einer Polynomfunktion f vom Grad 4. K ist der Graph von f.

1. Gib an, welche Informationen du aus der Wertetabelle entnehmen kannst über: Symmetrie, Achsenschnittpunkte, Extrem- und Wendepunkte von K.
2. Ermittle eine Funktionsgleichung von f.
3. Beurteile ob dein Lösungsweg zum Ermittlen der Funktionsgleichung vorteilhaft war. Gib gegebenenfalls einen schnelleren Lösungsweg an.

3  Aufgabenstellung entwickeln  (8 min)

Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung \(f(x)=\frac{1}{3}x^3-{4}x+\frac{16}{3}\). 

Erstelle eine Aufgabe zum Aufstellen einer Funktionsgleichung mit geeigneten Bedingungen, so dass f die Lösung ist.

4  Funktionsterm aus Grafik  (10 min)

Entscheide, zu welchen beiden Funktionstypen das Schaubild passt. Bestimme jeweils einen möglichen Funktionsterm.

5  Rutsche  (6 min)

Eine Rutsche startet waagerecht auf 3 m Höhe und endet ebenfalls waagerecht 3 m weiter links 0,3 m über dem Boden.

Bestimme eine Polynomfunktion, deren Graph die Rutsche annähert!

6  Funktionsterme aus Eigenschaften  (20 min) 𝕃

Gegeben sind die folgenden Eigenschaften einer Funktion:

1. \(f(2)=f(4)\)
2. \(f^{\prime}(3)= 0\)
3. \(f^{\prime}(2)\approx 4,7\)
4. \[\int\limits_{0}^4 f(x)dx \geq \int\limits_{0}^1 f(x)dx > \int\limits_{0}^2 f(x)dx\]

Bestimme einen Funktionsterm, der alle vier Bedingungen erfüllt.

7  Slalom  (k.A.) 𝕃

Stelle einen Funktionsterm auf, dessen Graph die senkrechten Balken nicht schneidet.

8  Fehlende Eigenschaft finden  (20 min)

Gegeben ist der folgende Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades.
 
 

Theo möchte zu diesem Graphen einen Funktionsterm bestimmen.
Er wählt den allgemeinen Ansatz
 
 \(f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e\)
 
und stellt folgendes lineares Gleichungssystem auf:
 
\(\left(\begin{array}{ccccc|c} 0 &0 &0&0&1&1\\ 1 &1 &1&1&1&3\\ 0 &0 &0&1&0&0\\ 4 &3 &2&1&0&0 \end{array}\right) \)
 
Er kommt mit seiner Rechnung leider nicht zum Ziel. Erläutere eine mögliche Hilfestellung, damit das Gleichungssystem eine Lösung hat.

9  Zusammengesetzte Funktion  (k.A.)

Entwurf!!
Stelle den Funktionsterm für die dargestellte zusammengesetzte Funktion auf.