Zum Inhalt springen
Version 3.1 von Holger Engels am 2026/03/04 16:32
Zeige letzte Bearbeiter
1 Vierter Grad bedeutet, dass die Funktion die Form {{formula}}f(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0{{/formula}} besitzt.
2 Da der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse sein soll, fallen die ungeraden Exponenten weg, d.h.
3 {{formula}}f(x)=a_4x^4+a_2x^2+a_0{{/formula}}
4 {{formula}}f^\prime(x)=4\cdot a_4 x^3+2\cdot a_2 x{{/formula}}
5
6 **Bedingungen und Gleichungen:**
7 {{formula}}f^\prime(2)=0 \implies f^\prime(2)=4\cdot a_4 \cdot 2^3+2\cdot a_2 \cdot 2 =0{{/formula}}
8 {{formula}}f^\prime(1)=24 \implies f^\prime(1)=4\cdot a_4 +2\cdot a_2 =14{{/formula}}
9 {{formula}}f(1)=9 \implies f(1)=a_4+a_2+a_0=9{{/formula}}.
10
11 {{formula}}
12 \left(
13 \begin{array}{ccc|c}
14 1 & 1 & 1 & 9 \\
15 2 & 1 & 0 & 12 \\
16 8 & 1 & 0 & 0
17 \end{array}
18 \right)
19 {{/formula}}
20
21 Wir erzeugen eine Null in der zweiten Spalte in der 3. Zeile (-II + III)
22 {{formula}}
23 \left(
24 \begin{array}{ccc|c}
25 1 & 1 & 1 & 9 \\
26 2 & 1 & 0 & 12 \\
27 6 & 0 & 0 & -12
28 \end{array}
29 \right)
30 {{/formula}}
31
32 Aus III: {{formula}}6a_4 = -12 \implies a_4=-2{{/formula}}
33 Aus II: {{formula}}-4 + a_2 = 12 \implies a_2=16{{/formula}}
34 Aus I: {{formula}}-2 + 16 + a_0 = 9 \implies a_0=-5{{/formula}}
35 Die Funktionsgleichung lautet damit insgesamt {{formula}}f(x)=-2x^4+16x^2-5{{/formula}}.