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Zuletzt geändert von akukin am 2024/04/02 14:14
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1 Vierter Grad bedeutet, dass die Funktion die Form {{formula}}f(x)=a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0{{/formula}} besitzt.
2 Da der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse sein soll, fallen die ungeraden Exponenten weg, d.h. {{formula}}f(x)=a_4x^4+a_2x^2+a_0{{/formula}}.
3 Weiterhin gilt: {{formula}}f^\prime(2)=0{{/formula}} (Hochpunkt bei {{formula}}x=2{{/formula}})
4 {{formula}}f^\prime(x)=4\cdot a_4 x^3+2\cdot a_2 x \implies f^\prime(2)=4\cdot a_4 \cdot 2^3+2\cdot a_2 \cdot 2 =0 {{/formula}} (Gleichung (I))
5 Ebenso gilt (Tangente der Steigung 24 bei {{formula}}x=1{{/formula}}): {{formula}}f^\prime(1)=24 \implies f^\prime(1)=4\cdot a_4 +2\cdot a_2 =14{{/formula}} (Gleichung (II))
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7 Aus (I) folgt {{formula}}4\cdot a_2= 32\cdot a_4 \ \Leftrightarrow a_2 = 8\cdot a_4{{/formula}}.
8 Einsetzen von {{formula}} a_2 = 8\cdot a_4{{/formula}} in (II): {{formula}}4\cdot a_4 +2\cdot (8\cdot a_4) = 20 \cdot a_4=24 \Leftrightarrow a_4= \frac{24}{20}=\frac{6}{5}{{/formula}}.
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10 Damit ist {{formula}}a_4=\frac{6}{5}{{/formula}} und {{formula}} a_2 = 8\cdot a_4= 8 \cdot \frac{6}{5}=\frac{48}{5}{{/formula}}.
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12 Zudem ist bekannt, dass {{formula}}f(1)=9{{/formula}} und damit {{formula}}f(1)=a_4+a_2+a_0=\frac{6}{5}+\frac{48}{5}+a_0=9 \Leftrightarrow a_0=-\frac{9}{5}{{/formula}}.
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14 Die Funktionsgleichung lautet damit insgesamt {{formula}}f(x)=\frac{6}{5}x^4+\frac{48}{5}x^2-\frac{9}{5}{{/formula}}.