Wiki-Quellcode von Lösung Abstand Punkt Gerade

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2026/02/04 12:57

version	line-number	content
1.1	1	Gegeben sind der Punkt {{formula}}P(4\|8\|4){{/formula}} und der Punkt
	2
	3	{{formula}}Q_t = \left(\begin{array}{c} 2 + 1t \\ 4 + 2t \\ 6 + 0t \end{array}\right){{/formula}}
	4
	5	in Abhängigkeit von //t//.
	6
	7	Der Abstand ergibt sich aus:
	8
	9	{{formula}}d(t) = \sqrt{(2+t-4)^2+(4+2t-8)^2+(6-4)^2} = \sqrt{(t-2)^2+(2t-4)^2+4}{{/formula}}
	10
2.1	11	{{formula}}~~= \sqrt{t^2-4t+4+4t^2-16t+16+4} = \sqrt{5t^2-20t+24}{{/formula}}
1.1	12
	13	Die Extrema dieser Funktion liegen an der gleichen Stelle, wie die Extrema von {{formula}}d(t)^2{{/formula}}:
	14
2.1	15	{{formula}}f(t)=5t^2-20t+24{{/formula}}
1.1	16
2.1	17	{{formula}}\Rightarrow f'(t)=10t-20{{/formula}}
1.1	18
	19	Suche nach Nullstelle der Ableitung:
	20
2.1	21	{{formula}}f'(t)=0 \Rightarrow 10t-20=0 \Rightarrow t = 2{{/formula}}
	22
	23	Es handelt sich um eine einfache NS mit VZW von ⊖ nach ⊕, also um ein Minimum.
	24
	25	Der minimale Abstand ergibt sich durch einsetzen in //d//:
	26
2.2	27	{{formula}}d(2) = \sqrt{5\cdot2^2-20\cdot2+24} = \sqrt{4} = 2{{/formula}}

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