Vorschlag Klassenarbeit

1  Zwei Ebenen  (5 min)

Gegeben sind die zwei Ebenen \(E\) und \(F\) durch:
\(E: x_1 + x_2 + x_3 = 3\)
\(F: x_1 - x_2 = 1\)

1. Zeige, dass die beiden Ebenen nicht parallel zueinander sind.
2. Bestimme eine Parametergleichung der Schnittgeraden \(g\) der beiden Ebenen.

2  Ebene ud Gerade  (5 min)

Gegeben sind die Gerade \(g\) und die Ebene \(E\) durch:
\(g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}; r \in \mathbb{R}\)
\(E: 2x_1 - 4x_2 + 4x_3 = 12\)

1. Zeige, dass die Gerade \(g\) und die Ebene \(E\) nicht parallel zueinander sind.
2. Bestimme die Gleichung einer Geraden \(f\), die parallel zu \(E\) ist.

3  Pyramide  (12 min)

Gegeben sind die Eckpunkte eines Dreiecks \(A(0|2|0)\), \(B(0|-2|0)\) und \(C(2\sqrt{3}|0|0)\).
Die Eckpunkte des Dreiecks \(ABC\) sollen nun mit einer Spitze \(P\) verbunden werden, so dass eine Pyramide \(ABCP\) entsteht.

1. Zeichne das Dreieck \(ABC\) in ein dreidimensionales Koordinatensystem.
2. Weise nach, dass das Dreieck \(ABC\) gleichseitig mit der Seitenlänge 4 ist.

Ein Tetraeder ist eine Pyramide aus vier gleichseitigen Dreiecken. Die Gerade \(g\) verläuft senkrecht zur Dreiecksfläche \(ABC\) durch den Punkt \(M\left(\frac{2}{3}\sqrt{3}|0|0\right)\).

3. Zeichne die Gerade ein (darf aufgrund des \(x_1\)-Wertes von Punkt \(M\) ungenau sein).
4. Die Spitze \(P\) liegt auf der Geraden \(g\). Ermittle die Koordinaten der Spitze \(P\) so, dass \(ABCP\) ein Tetraeder ist.

4  Abstand von einer Ebene  (11 min)

Die Ebene \(E\) hat die Spurpunkte \(S_1(4|0|0)\), \(S_2(0|2|0)\) und \(S_3(0|0|2)\).

a) Bestimme zu \(E\) eine Gleichung in Koordinatenform und eine Gleichung in Normalenform.
b) Bestimme einen Punkt, der den Abstand 3 LE zur Ebene \(E\) hat.
c) Bestimme die Gleichung einer Ebenen \(F\), die den Abstand 3 LE zur Ebene \(E\) hat.

5  Spiegelebene  (7 min)

Gegeben sind der Punkt \(P(1|2|3)\) und sein Spiegelpunkt \(P'(5|4|5)\). Bestimme die Gleichung der Spiegelebenen.