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Lösung Drei Punkte

Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/05/13 16:53

Um zu prüfen, ob die Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, stellen wir eine Geradengleichung durch zwei Punkte auf (zum Beispiel \(A\) und \(B\)) und prüfen, ob der dritte Punkt auf der Geraden liegt, indem wir den Punkt mit der Gerade gleichsetzen.

Zum Aufstellen der Geradengleichung wählen wir z.B. \(A\) als Aufhängepunkt und \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) als Richtungsvektor und erhalten die Geradengleichung:

\[g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Hinweis: Auch \(B\) könnte als Aufhängepunkt verwendet werden. Auch Vielfache des Richtungsvektors
könnten verwendet werden.

Wir setzen nun \(C\) mit der Gerade gleich:

\[\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}\]

und erhalten somit folgendes LGS:
\(\begin{align*} \text{I}: \ 3&=4-2t \\ \text{II}: \ 1&=2t \\ \text{III}: \ 1&=t \end{align*}\)

Aus \(\text{I}\): \(3=4-2t \ \Leftrightarrow \ t=\frac{1}{2}\).

Wir setzen \(t=\frac{1}{2}\) in \(\text{II}\) ein:
\(0+\frac{1}{2}\cdot 2=1\) (wahre Aussage).

Wir setzen \(t=\frac{1}{2}\) in \(\text{III}\) ein:
\(0+\frac{1}{2}\cdot 1=1\) (falsche Aussage).

Die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) liegen somit nicht auf einer gemeinsamen Gerade.

Alternative Lösung: 
Um zu prüfen, ob die Punkte auf einer gemeinsamen Geraden liegen, bilden wir die Stützvektoren \(\overrightarrow{AB}\) und \(\overrightarrow{AC}\) und prüfen, ob die beiden Vektoren Vielfachen voneinander sind/linear abhängig sind:

\[\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-4 \\ 2-0 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \]
\[\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 3-4 \\ 1-0 \\ 1-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\]

Wir prüfen nun zeilenweise, ob es ein \(k\) gibt, sodass \(\overrightarrow{AB}=k\cdot \overrightarrow{AC} \ \Leftrightarrow \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}=k\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}\) gilt.

Zeile I: \(-2=k\cdot (-1) \Leftrightarrow k=2\)
Zeile II: \(2=k\cdot 1 \Leftrightarrow k=2\)
Zeile III: \(1=k\cdot 1 \Leftrightarrow k=1 \neq 2\)

Da wir in der dritten Zeile einen anderen Wert für \(k\) erhalten, sind die Vektoren keine Vielfachen voneinander (sie sind linear unabhängig). Die Punkte \(A\), \(B\) und \(C\) liegen somit nicht auf einer gemeinsamen Gerade.