Änderungen von Dokument Lösung Parallele und senkrechte Gerade

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5	5	{{formula}} \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 2-2 \\ 3-(-3) \\ 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} = 6 \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}}
6	6
7	7	Da der Richtungsvektor {{formula}} \overrightarrow{AB} {{/formula}} ein Vielfaches des Einheitsvektors der y-Achse ist, ist die Gerade parallel zur y-Achse.)))
8		-1. (((Da der Punkt {{formula}} C {{/formula}} auf der y-Achse liegt, sind seine Koordinaten gegeben durch
9		-{{formula}} C(0|c|0){{/formula}} mit {{formula}}c \in \mathbb{R} {{/formula}}
	8	+1. (((Da der Punkt {{formula}} C {{/formula}} auf der y-Achse liegt, sind seine Koordinaten gegeben durch {{formula}} C(0|c|0){{/formula}} mit {{formula}}c \in \mathbb{R} {{/formula}}
10	10
11	11	Da die Geraden durch {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} senkrecht aufeinander stehen, muss das Skalarprodukt der Richtungsvektoren der Geraden gleich null sein. Das heißt es muss gelten:
12	12	{{formula}}
13	13	\begin{align*}
14		-\overrightarrow{CA} \circ \overrightarrow{CB} = 0 \\
15		-\Leftrightarrow \begin{pmatrix} 2 \\ -3-c \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ 3-c \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \\
16		-\Leftrightarrow 2 \cdot 2 + (-3-c) \cdot (3-c) + 1 \cdot 1 = 0 \\
17		-\Leftrightarrow 4 + -9 + 3c - 3c + c^2 + 1 = 0 \\
18		-\Leftrightarrow -4+c^2=0 \\
19		-\Leftrightarrow c^2=4 &&\mid \pm\sqrt \\
20		-\Leftrightarrow c = \pm 2
	13	+&\overrightarrow{CA} \circ \overrightarrow{CB} = 0 \\
	14	+\Leftrightarrow & \begin{pmatrix} 2 \\ -3-c \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 2 \\ 3-c \\ 1 \end{pmatrix} = 0 \\
	15	+\Leftrightarrow & \ 2 \cdot 2 + (-3-c) \cdot (3-c) + 1 \cdot 1 = 0 \\
	16	+\Leftrightarrow & \ 4 -9 + 3c - 3c + c^2 + 1 = 0 \\
	17	+\Leftrightarrow & \ -4+c^2=0 \\
	18	+\Leftrightarrow & \ c^2=4 \quad \mid \sqrt{\phantom{x}} \\
	19	+\Leftrightarrow & \ c = \pm 2
21	21	\end{align*}
22	22	{{/formula}}
23	23
24	24
25		-Die Koordinaten der Punkte lauten somit
26		-{{formula}} C_1(0|-2|0) {{/formula}} und {{formula}} C_2(0|2|0) {{/formula}})))
	24	+Die Koordinaten der Punkte lauten somit {{formula}} C_1(0|-2|0) {{/formula}} und {{formula}} C_2(0|2|0) {{/formula}}.)))