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Zuletzt geändert von Holger Engels am 2026/07/07 15:08
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bearbeitet von Frauke Beckstette
am 2026/04/27 13:46
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Titel
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -BPE 16.3 Darstellungsformen von Ebenen
1 +BPE 16.3 Ebenen und Normalenvektoren
Übergeordnete Seite
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -Jahrgangsstufen.WebHome
1 +Main.WebHome
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.holgerengels
1 +XWiki.beckstette
Inhalt
... ... @@ -1,81 +1,45 @@
1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Normalenvektor ermitteln.
4 -[[Kompetenzen.K6]] Ich kann den Normalenvektor geometrisch als einen Vektor deuten, der zu zwei Spannvektoren einer Ebene orthogonal ist.
5 -[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann zur Beschreibung einer Ebene verschiedene Darstellungsformen nutzen.
3 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Normalenvektor ermitteln. {{niveau}}e{{/niveau}}
4 +[[Kompetenzen.K6]] Ich kann den Normalenvektor geometrisch als einen Vektor deuten, der zu zwei Spannvektoren einer Ebene orthogonal ist. {{niveau}}e{{/niveau}}
5 +[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann zur Beschreibung einer Ebene verschiedene Darstellungsformen nutzen. {{niveau}}e{{/niveau}}
6 +Ich kann zur Beschreibung einer Ebene die Parameterform nutzen. {{niveau}}g{{/niveau}}
6 6  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Ebenengleichungen aus Punkten und Geraden ermitteln.
7 7  
8 -{{aufgabe id="Normalenvektor" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Florian Timmermann" niveau=e zeit="4"}}
9 -Gegeben sind die Vektoren {{formula}}\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\ 3\\ 4\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\vec{b}=\begin{pmatrix}4\\ 5\\ 7\end{pmatrix}{{/formula}}.
10 -Berechne die Koordinaten des Vektors {{formula}}\vec{n}{{/formula}}, der senkrecht zu den Vektoren {{formula}}\vec{a}{{/formula}} und {{formula}}\vec{b}{{/formula}} steht und die Länge //1// hat.
9 +{{aufgabe id="" afb="" kompetenzen="" quelle="" zeit=""}}
10 +Gegeben sind die Vektoren
11 11  {{/aufgabe}}
12 12  
13 -{{aufgabe id="Normalenvektor Ebene" afb="I" kompetenzen="K1,K5" quelle="Holger Engels" niveau=e zeit="8"}}
14 -Gegeben ist die Ebene {{formula}}E{{/formula}} in Parameterform:
13 +{{aufgabe id="Koordinatenform Äquivalenzumformung" afb="I" kompetenzen="K1, K6" quelle="Holger Engels" niveau=e zeit="2"}}
14 +Wenn man bei der Ebenengleichung {{formula}}E: 2x_1-4x_2+6x_1=6{{/formula}} beide Seiten durch zwei teilt:
15 15  
16 -{{formula}}E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}{{/formula}}
16 +{{formula}}F: x_1-2x_2+3x_1=3{{/formula}}
17 17  
18 -(%class=abc%)
19 -1. Ermittle einen Normalenvektor {{formula}}\vec{n}{{/formula}} für die Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
20 -1. Zeige rechnerisch, dass der Normalenvektor zu den beiden Spannvektoren orthogonal ist.
21 -1. Ein Mitschüler behauptet: "Mein Normalenvektor lautet {{formula}}\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}{{/formula}}. Kann mein Ergebnis auch korrekt sein, obwohl es anders aussieht". Entscheide und begründe.
22 -{{/aufgabe}}
23 -
24 -{{aufgabe id="Koordinatenform Äquivalenzumformung" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Holger Engels" niveau=e zeit="2"}}
25 -Wenn man bei der Ebenengleichung {{formula}}E: 2x_1-4x_2+6x_3=6{{/formula}} beide Seiten durch zwei teilt:
26 -
27 -{{formula}}F: x_1-2x_2+3x_3=3{{/formula}}
28 -
29 29  Ist es dann noch die gleiche Ebene? Erläutere!
30 30  {{/aufgabe}}
31 31  
32 -{{aufgabe id="Koordinatenform Variation" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Holger Engels" niveau=e zeit="2"}}
33 -Wenn man bei der Ebenengleichung {{formula}}E: 2x_1-4x_2+6x_3=6{{/formula}} auf der rechten Seite //4// abzieht, was ändert sich an der Lage der Ebene? Erläutere!
34 -{{/aufgabe}}
35 -
36 -{{aufgabe id="Parameterform zwei Spurpunkte" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="3"}}
37 -Eine Ebene hat nur die beiden Spurpunkte (3|0|0) und (0|4|0). Stelle eine Ebenengleichung in Parameterform auf! Gib die besondere Lage der Ebene im Koordinatensystem an.
38 -{{/aufgabe}}
39 -
40 40  {{aufgabe id="Koordinatenform zwei Spurpunkte" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" niveau=e zeit="2"}}
41 41  Eine Ebene hat nur die beiden Spurpunkte (3|0|0) und (0|4|0). Stelle eine Ebenengleichung in Koordinatenform auf!
42 42  {{/aufgabe}}
43 43  
44 -{{aufgabe id="Aufstellen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="4"}}
25 +{{aufgabe id="Aufstellen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" niveau=e zeit="4"}}
45 45  Stelle jeweils eine Gleichung auf für eine Ebene, die ..
46 46  (%class=abc%)
47 -1. parallel ist zur x,,1,,x,,2,,- Ebene
48 -1. parallel ist zur x,,1,,- Achse
28 +1. parallel ist zu x,,1,,x,,2,,- Ebene
29 +1. parallel ist zur Ebene {{formula}}E: 2x_1-4x_2+6x_1=6{{/formula}}
49 49  {{/aufgabe}}
50 50  
51 -{{aufgabe id="Arithmagon Formen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Martina Wagner" zeit="13" tags="problemlösen"}}
52 -[[image:Arithmagon Ebenen Formen.svg||class=right width=500]]Bestimme passende Werte für die Lücken. Schreibe in die blauen Kästchen, wie Du von einer Form zur anderen kommst.
53 -{{/aufgabe}}
54 -
55 -{{aufgabe id="Ebene aus Punkten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Florian Timmermann" zeit="6"}}
56 -Gegeben sind die Punkte {{formula}}A(1|3|1){{/formula}}, {{formula}}B(2|2|-4){{/formula}}, {{formula}}C(3|1|1){{/formula}} und {{formula}}D(4|0|1){{/formula}}.
57 -Zeige, dass die vier Punkte auf einer gemeinsamen Ebene liegen.
58 -{{/aufgabe}}
59 -
60 -{{aufgabe id="Ebene aus Schaubild" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Florian Timmermann" zeit="6"}}
61 -In der Abbildung sind Ausschnitte von Ebenen dargestellt. Bestimme jeweils eine Parametergleichung.
62 -[[image:Ebenen.png||style="max-width: 680px"]]
63 -{{/aufgabe}}
64 -
65 65  {{aufgabe id="Ebene aus Geraden" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit=""}}
66 66  Gegeben sind ..
67 67  
68 68  (%class="abc horiz"%)
69 69  1. (((zwei parallele Geraden
70 -
71 71  {{formula}}g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}}
72 72  )))
73 73  1. (((zwei sich schneidende Geraden
74 -
75 75  {{formula}}g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}
76 76  )))
77 77  1. (((zwei windschiefe Geraden
78 -
79 79  {{formula}}g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}
80 80  )))
81 81  
... ... @@ -82,23 +82,4 @@
82 82  Bestimme, soweit möglich, jeweils die Gleichung einer Ebene, die die beiden Geraden enthält.
83 83  {{/aufgabe}}
84 84  
85 -{{aufgabe id="Eigenschaften" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Florian Timmermann" zeit=""}}
86 -Bestimme die Gleichung derjenigen Ebene, die gleichzeitig alle folgenden Eigenschaften erfüllt:
87 -
88 -* Sie verläuft durch {{formula}}P(1|-3|5){{/formula}}
89 -* Ihre Spurpunkte mit der {{formula}}x_2{{/formula}} und {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse sind jeweils doppelt so weit vom Ursprung entfernt wie ihr Spurpunkt mit der {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse.
90 -* Sie verläuft nicht durch den Koordinatenursprung.
91 -{{/aufgabe}}
92 -
93 -{{aufgabe id="Schnittpunkt und Ebenengleichung" afb="I, II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2018MerhoehtAAGLAA212_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
94 -Gegeben sind die Geraden
95 -{{formula}} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}r \in \mathbb{R} {{/formula}}
96 -und
97 -{{formula}} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} {{/formula}} mit {{formula}}s \in \mathbb{R} {{/formula}}.
98 -
99 -(%class=abc%)
100 -1. Gib die Koordinaten des Schnittpunkts von {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} an. Zeige, dass {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} senkrecht zueinander verlaufen.
101 -1. Die Ebene {{formula}} E {{/formula}} enthält die Geraden {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}}. Bestimme eine Gleichung von {{formula}} E {{/formula}} in Koordinatenform.
102 -{{/aufgabe}}
103 -
104 104  {{seitenreflexion/}}
Arithmagon Ebenen Formen.svg
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