Zum Inhalt springen
Zuletzt geändert von Holger Engels am 2026/07/07 15:08
Von Version 34.5
bearbeitet von Holger Engels
am 2026/07/07 11:44
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version
Auf Version 18.1
bearbeitet von Holger Engels
am 2026/04/27 14:19
Änderungskommentar: Neues Bild Ebenen.png hochladen

Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Titel
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -BPE 16.3 Darstellungsformen von Ebenen
1 +BPE 16.3 Ebenen und Normalenvektoren
Übergeordnete Seite
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -Jahrgangsstufen.WebHome
1 +Main.WebHome
Inhalt
... ... @@ -1,46 +1,24 @@
1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Normalenvektor ermitteln.
4 -[[Kompetenzen.K6]] Ich kann den Normalenvektor geometrisch als einen Vektor deuten, der zu zwei Spannvektoren einer Ebene orthogonal ist.
5 -[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann zur Beschreibung einer Ebene verschiedene Darstellungsformen nutzen.
3 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann einen Normalenvektor ermitteln. {{niveau}}e{{/niveau}}
4 +[[Kompetenzen.K6]] Ich kann den Normalenvektor geometrisch als einen Vektor deuten, der zu zwei Spannvektoren einer Ebene orthogonal ist. {{niveau}}e{{/niveau}}
5 +[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann zur Beschreibung einer Ebene verschiedene Darstellungsformen nutzen. {{niveau}}e{{/niveau}}
6 +Ich kann zur Beschreibung einer Ebene die Parameterform nutzen. {{niveau}}g{{/niveau}}
6 6  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Ebenengleichungen aus Punkten und Geraden ermitteln.
7 7  
8 -{{aufgabe id="Normalenvektor" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Florian Timmermann" niveau=e zeit="4"}}
9 +{{aufgabe id="Normalenvektor" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Florian Timmermann" zeit="4"}}
9 9  Gegeben sind die Vektoren {{formula}}\vec{a}=\begin{pmatrix}2\\ 3\\ 4\end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}\vec{b}=\begin{pmatrix}4\\ 5\\ 7\end{pmatrix}{{/formula}}.
10 -Berechne die Koordinaten des Vektors {{formula}}\vec{n}{{/formula}}, der senkrecht zu den Vektoren {{formula}}\vec{a}{{/formula}} und {{formula}}\vec{b}{{/formula}} steht und die Länge //1// hat.
11 +Berechne die Koordinaten des Vektors {{formula}}\vec{n}{{/formula}}, der senkrecht zu den Vektoren {{formula}}\vec{a}{{/formula}} und {{formula}}\vec{b}{{/formula}} steht.
11 11  {{/aufgabe}}
12 12  
13 -{{aufgabe id="Normalenvektor Ebene" afb="I" kompetenzen="K1,K5" quelle="Holger Engels" niveau=e zeit="8"}}
14 -Gegeben ist die Ebene {{formula}}E{{/formula}} in Parameterform:
14 +{{aufgabe id="Koordinatenform Äquivalenzumformung" afb="I" kompetenzen="K1, K6" quelle="Holger Engels" niveau=e zeit="2"}}
15 +Wenn man bei der Ebenengleichung {{formula}}E: 2x_1-4x_2+6x_1=6{{/formula}} beide Seiten durch zwei teilt:
15 15  
16 -{{formula}}E: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}{{/formula}}
17 +{{formula}}F: x_1-2x_2+3x_1=3{{/formula}}
17 17  
18 -(%class=abc%)
19 -1. Ermittle einen Normalenvektor {{formula}}\vec{n}{{/formula}} für die Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
20 -1. Zeige rechnerisch, dass der Normalenvektor zu den beiden Spannvektoren orthogonal ist.
21 -1. Ein Mitschüler behauptet: "Mein Normalenvektor lautet {{formula}}\vec{n}_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}{{/formula}}. Kann mein Ergebnis auch korrekt sein, obwohl es anders aussieht". Entscheide und begründe.
22 -{{/aufgabe}}
23 -
24 -{{aufgabe id="Koordinatenform Äquivalenzumformung" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Holger Engels" niveau=e zeit="2"}}
25 -Wenn man bei der Ebenengleichung {{formula}}E: 2x_1-4x_2+6x_3=6{{/formula}} beide Seiten durch zwei teilt:
26 -
27 -{{formula}}F: x_1-2x_2+3x_3=3{{/formula}}
28 -
29 29  Ist es dann noch die gleiche Ebene? Erläutere!
30 30  {{/aufgabe}}
31 31  
32 -{{aufgabe id="Koordinatenform Variation" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Holger Engels" niveau=e zeit="2"}}
33 -Wenn man bei der Ebenengleichung {{formula}}E: 2x_1-4x_2+6x_3=6{{/formula}} auf der rechten Seite //4// abzieht, was ändert sich an der Lage der Ebene? Erläutere!
34 -{{/aufgabe}}
35 -
36 -{{aufgabe id="Parameterform zwei Spurpunkte" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="3"}}
37 -Eine Ebene hat nur die beiden Spurpunkte (3|0|0) und (0|4|0). Stelle eine Ebenengleichung in Parameterform auf! Gib die besondere Lage der Ebene im Koordinatensystem an.
38 -{{/aufgabe}}
39 -
40 -{{aufgabe id="Parameterform Punkt und Gerade" afb="I" kompetenzen="K4,K5" quelle="Stefanie Walz" zeit="9"}}
41 -Bestimme eine Ebenenegleichung, die die Gerade {{formula}}g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und den Punkt {{formula}}P(3|-4|2){{/formula}} enthält. Zeichne die Ebene in ein räumliches Koordinatensystem.
42 -{{/aufgabe}}
43 -
44 44  {{aufgabe id="Koordinatenform zwei Spurpunkte" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" niveau=e zeit="2"}}
45 45  Eine Ebene hat nur die beiden Spurpunkte (3|0|0) und (0|4|0). Stelle eine Ebenengleichung in Koordinatenform auf!
46 46  {{/aufgabe}}
... ... @@ -48,61 +48,25 @@
48 48  {{aufgabe id="Aufstellen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit="4"}}
49 49  Stelle jeweils eine Gleichung auf für eine Ebene, die ..
50 50  (%class=abc%)
51 -1. parallel ist zur x,,1,,x,,2,,- Ebene
52 -1. parallel ist zur x,,1,,- Achse
29 +1. parallel ist zu x,,1,,x,,2,,- Ebene
30 +1. parallel ist zur Ebene {{formula}}E: 2x_1-4x_2+6x_1=6{{/formula}}
53 53  {{/aufgabe}}
54 54  
55 -{{aufgabe id="Arithmagon Formen" afb="I" kompetenzen="K2,K4,K5,K6" quelle="Martina Wagner" niveau=e zeit="13" tags="problemlösen"}}
56 -[[image:Arithmagon Ebenen Formen.svg||class=right width=500]]Bestimme passende Werte für die Lücken. Beschreibe in den blauen Kästchen, wie Du von einer Darstellungsform zur anderen kommst.
57 -{{/aufgabe}}
58 -
59 -{{aufgabe id="Ebene aus Punkten" afb="I" kompetenzen="K1,K5" quelle="Florian Timmermann" zeit="8"}}
60 -Gegeben sind die Punkte {{formula}}A(1|3|1){{/formula}}, {{formula}}B(2|2|-4){{/formula}}, {{formula}}C(3|1|1){{/formula}} und {{formula}}D(4|0|1){{/formula}}.
61 -Zeige, dass die vier Punkte auf einer gemeinsamen Ebene liegen.
62 -{{/aufgabe}}
63 -
64 -{{aufgabe id="Ebene aus Schaubild" afb="I" kompetenzen="K4,K5" quelle="Florian Timmermann" zeit="6"}}
65 -In der Abbildung sind Ausschnitte von Ebenen dargestellt. Bestimme jeweils eine Parametergleichung.
66 -[[image:Ebenen.png||style="max-width: 680px"]]
67 -{{/aufgabe}}
68 -
69 -{{aufgabe id="Ebene aus Geraden" afb="III" kompetenzen="K1,K5" quelle="Holger Engels" zeit="11"}}
33 +{{aufgabe id="Ebene aus Geraden" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" zeit=""}}
70 70  Gegeben sind ..
71 71  
72 72  (%class="abc horiz"%)
73 73  1. (((zwei parallele Geraden
74 -
75 75  {{formula}}g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}}
76 76  )))
77 77  1. (((zwei sich schneidende Geraden
78 -
79 79  {{formula}}g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}
80 80  )))
81 81  1. (((zwei windschiefe Geraden
82 -
83 83  {{formula}}g_1: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}}g_2: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}
84 84  )))
85 85  
86 -Bestimme, soweit möglich, für jede Teilaufgabe die Gleichung einer Ebene, die die beiden Geraden enthält. Erläutere, warum das in einem Fall nicht möglich ist.
47 +Bestimme, soweit möglich, jeweils die Gleichung einer Ebene, die die beiden Geraden enthält.
87 87  {{/aufgabe}}
88 88  
89 -{{aufgabe id="Eigenschaften" afb="III" kompetenzen="K2,K5" quelle="Florian Timmermann" zeit="13"}}
90 -Bestimme die Gleichung derjenigen Ebene, die gleichzeitig alle folgenden Eigenschaften erfüllt:
91 -
92 -* Sie verläuft durch {{formula}}P(1|-3|5){{/formula}}
93 -* Ihre Spurpunkte mit der {{formula}}x_2{{/formula}} und {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse sind jeweils doppelt so weit vom Ursprung entfernt wie ihr Spurpunkt mit der {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse.
94 -* Sie verläuft nicht durch den Koordinatenursprung.
95 -{{/aufgabe}}
96 -
97 -{{aufgabe id="Schnittpunkt und Ebenengleichung" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2018MerhoehtAAGLAA212_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
98 -Gegeben sind die Geraden
99 -{{formula}} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}r \in \mathbb{R} {{/formula}}
100 -und
101 -{{formula}} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} {{/formula}} mit {{formula}}s \in \mathbb{R} {{/formula}}.
102 -
103 -(%class=abc%)
104 -1. Gib die Koordinaten des Schnittpunkts von {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} an. Zeige, dass {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} senkrecht zueinander verlaufen.
105 -1. Die Ebene {{formula}} E {{/formula}} enthält die Geraden {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}}. Bestimme eine Gleichung von {{formula}} E {{/formula}} in Koordinatenform.
106 -{{/aufgabe}}
107 -
108 108  {{seitenreflexion/}}
Arithmagon Ebenen Formen.svg
Author
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -XWiki.holgerengels
Größe
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -52.2 KB
Inhalt