Änderungen von Dokument Lösung Schnittpunkt Ebene Gerade

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1	1	(%class=abc%)
2		-1. Um die Schnittgerade von {{formula}}E{{/formula}} mit der {{formula}}x_2x_3{{/formula}}-Ebene zu zeichnen, bestimmen wir zunächst die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (Spurpunkte):
	2	+1. (((Um die Schnittgerade von {{formula}}E{{/formula}} mit der {{formula}}x_2x_3{{/formula}}-Ebene zu zeichnen, bestimmen wir zunächst die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen (Spurpunkte):
3	3	* Schnittpunkt mit der {{formula}}x_2{{/formula}}-Achse ({{formula}}x_1 =x_3 =0{{/formula}}): {{formula}}0 + x_2 + 2\cdot 0 = 4 \Leftrightarrow x_2 = 4 \quad \rightarrow S_2(0|4|0) {{/formula}}
4	4	* Schnittpunkt mit der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse ({{formula}}x_1 =x_2 =0{{/formula}}): {{formula}}0 + 0 + 2\cdot x_3 = 4 \Leftrightarrow x_3=2 \quad \rightarrow S_3(0|0|2) {{/formula}}
5	5
6	6	Wir zeichnen nun eine Gerade, die durch die Punkte {{formula}}S_2(0|4|0){{/formula}} und {{formula}}S_3(0|0|2){{/formula}} geht:
7		-[[image:beispiel.jpg]]
8		-1.
	7	+[[image:Schnittgerade.png||width="250"]])))
	8	+1. (((Zunächst stellen wir die einzelnen Koordinaten von {{formula}}g{{/formula}} dar: {{formula}}x_1 = 2 + 2\lambda, x_2 = 1 - \lambda, x_3 = -2 - 3\lambda{{/formula}}.
	9	+Diese setzen wir in {{formula}}E{{/formula}} ein und stellen nach {{formula}}\lambda{{/formula}} um:
	10	+{{formula}}
	11	+\begin{align*}
	12	+\phantom{\Leftrightarrow} && (2 + 2\lambda) + (1 - \lambda) + 2 \cdot (-2 - 3\lambda) &= 4 \\
	13	+\Leftrightarrow && 2 + 2\lambda + 1 - \lambda - 4 - 6\lambda &= 4 \\
	14	+\Leftrightarrow && -5\lambda - 1 &= 4 &&| + 1 \\
	15	+\Leftrightarrow && -5\lambda &= 5 &&| : (-5) \\
	16	+\Leftrightarrow && \lambda &= -1
	17	+\end{align*}
	18	+{{/formula}}
	19	+
	20	+Dann setzen wir {{formula}}\lambda=-1{{/formula}} in {{formula}}g{{/formula}} ein und erhalten:
	21	+{{formula}}\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} + (-1) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 - 2 \\ 1 + 1 \\ -2 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix}{{/formula}}
	22	+
	23	+Der Schnittpunkt ist somit {{formula}}P(0 | 2 | 1){{/formula}}.)))