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Lösung Spiegeln

Zuletzt geändert von Holger Engels am 2026/05/06 15:39
  1. Aufstellen der Lotgeraden g

Die Lotgerade g verläuft durch den Punkt P(0|0|0) und steht senkrecht auf der Ebene E. Als Richtungsvektor der Geraden verwenden wir den Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene:
\(\vec{n} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

g: \(\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}\)

2. Berechnung des Lotfußpunktes L
Der Lotfußpunkt L ist der Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene E. Wir setzen die Komponenten von g in die Ebenengleichung ein:

\(2(2t) - (-t) + (t) = 4\)
\(4t + t + t = 4\)
\(6t = 4 \implies t = \frac{2}{3}\)

t einsetzen in g: \(\vec{L} = \frac{2}{3} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4/3 \\ -2/3 \\ 2/3 \end{pmatrix}\)

3. Spiegelung zum Punkt P'

Da L genau in der Mitte zwischen P und dem Spiegelpunkt P' liegt, erreichen wir P', indem wir den doppelten Parameterwert (\(t = 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\)) verwenden:

\[\vec{P'} = \vec{P} + 2 \cdot \vec{PL} = 2 \cdot \vec{L}\]
\[\vec{P'} = 2 \cdot \begin{pmatrix} 4/3 \\ -2/3 \\ 2/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8/3 \\ -4/3 \\ 4/3 \end{pmatrix}\]