Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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Seiteneigenschaften

Inhalt

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13	13	{{/aufgabe}}
14	14
15	15	{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
16		-Gegeben seien Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}}, {{formula}}C{{/formula}} und {{formula}}P{{/formula}} im Raum. Es liegt //C// nicht auf der Verbindungsgeraden von //A/ und //B//, es liegt //P// nicht in der Ebene //A//, //B// und //C//. Betrachtet werden die drei Abstände {{formula}}d(P;A), \quad d(P;g(A,B)), \quad d(P;E(A,B,C)){{/formula}}.
	16	+Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf der der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in der der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
17	17
	18	+{{formula}}
	19	+d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
	20	+{{/formula}}
	21	+
18	18	(%class=abc%)
19		-1. Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
20		-1. (((Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
	23	+1. (((
	24	+Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
21	21
	26	+Zeige dazu:
	27	+
22	22	{{formula}}
23		-d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
	29	+\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
24	24	{{/formula}}
25	25
26		-Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
	32	+und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
27	27	)))
28		-1. (((Zeige:
	34	+1. (((
	35	+Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
29	29
30	30	{{formula}}
31		-\{A\}\subset g(A,B)\subset E(A,B,C).
	38	+d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
32	32	{{/formula}}
33	33
34		-Leite daraus eine allgemeine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
	41	+Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
35	35	)))
36		-1. (((Untersuche die Gleichheitsfälle:
37		- * Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A,B)){{/formula}}?
38		- * Wann gilt {{formula}}d(P;g(A,B))=d(P;E(A,B,C)){{/formula}}?
	43	+1. (((
	44	+Untersuche die Gleichheitsfälle:
39	39
	46	+* Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
	47	+* Wann gilt {{formula}}d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C)){{/formula}}?
	48	+
40	40	Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
41	41	)))
42		-1. Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
43		-1. (((Formuliere eine allgemeine Aussage:
	51	+1. (((
	52	+Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
44	44
	54	+Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
	55	+)))
	56	+1. (((
	57	+Formuliere eine allgemeine Aussage:
	58	+
45	45	{{formula}}
46	46	M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
47	47	{{/formula}}
48	48
49		-Erläutere diese Aussage geometrisch.)))
	63	+Erläutere diese Aussage geometrisch.
	64	+)))
50	50	{{/aufgabe}}