Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -105,10 +105,48 @@
105	105	)))
106	106	{{/aufgabe}}
107	107
108		-{{aufgabe id="Abstandsprobleme zurückführen" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="18"}}
109		-Gegeben seien zwei Geraden
	108	+{{aufgabe id="Abstandsprobleme Punkt Gerade Ebene" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="18"}}
	109	+Gegeben seien ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}, ein Punkt {{formula}}A{{/formula}}, eine Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}A\in g{{/formula}} und eine Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit {{formula}}g\subset E{{/formula}}. Der Punkt {{formula}}P{{/formula}} liege nicht in der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
110	110
	111	+Betrachtet werden die Abstände
	112	+
111	111	{{formula}}
	114	+d(P;A),\quad d(P;g),\quad d(P;E).
	115	+{{/formula}}
	116	+
	117	+(%class=abc%)
	118	+1. (((
	119	+Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
	120	+)))
	121	+1. (((
	122	+Beschreibe die drei Abstände jeweils als Minimierungsproblem der Form
	123	+
	124	+{{formula}}
	125	+d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X\in M\,\}.
	126	+{{/formula}}
	127	+
	128	+Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
	129	+)))
	130	+1. (((
	131	+Beschreibe für {{formula}}d(P;g){{/formula}} und {{formula}}d(P;E){{/formula}} jeweils den Punkt, der den Abstand realisiert.
	132	+
	133	+Formuliere die zugehörige Orthogonalitätsbedingung.
	134	+)))
	135	+1. (((
	136	+Erläutere allgemein:
	137	+
	138	+{{formula}}
	139	+M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
	140	+{{/formula}}
	141	+
	142	+Beziehe diese Aussage auf die drei gegebenen Abstände.
	143	+)))
	144	+{{/aufgabe}}
	145	+
	146	+{{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
	147	+Gegeben seien zwei windschiefe Geraden
	148	+
	149	+{{formula}}
112	112	g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1
113	113	{{/formula}}
114	114
...	...	@@ -118,55 +118,50 @@
118	118	g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2.
119	119	{{/formula}}
120	120
121		-Die Geraden seien windschief, insbesondere gilt {{formula}}\vec{u}_1{{/formula}} ist kein Vielfaches von {{formula}}\vec{u}_2{{/formula}}.
	159	+Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.
122	122
123	123	(%class=abc%)
124	124	1. (((
125		-Beschreibe, weshalb der Abstand zweier windschiefer Geraden ein neues Abstandsproblem darstellt.
	163	+Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
126	126
127		-Vergleiche dazu mit den bereits bekannten Abstandsproblemen:
128		-* Punkt – Punkt
129		-* Punkt – Gerade
130		-* Punkt – Ebene
131		-)))
132		-1. (((
133		-Konstruiere eine Ebene {{formula}}E{{/formula}}, die die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zur Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
	165	+Zeige, dass die Ebene
134	134
135		-Gib diese Ebene in Parameterform an.
	167	+{{formula}}
	168	+E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
	169	+{{/formula}}
	170	+
	171	+die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
136	136	)))
137	137	1. (((
138	138	Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
139	139	)))
140	140	1. (((
141		-Begründe die Rückführung
	177	+Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
142	142
143	143	{{formula}}
144	144	d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
145	145	{{/formula}}
146		-
147		-Erläutere geometrisch, warum sich der Abstand dabei nicht verändert.
148	148	)))
149	149	1. (((
150		-Begründe anschließend die Rückführung
	184	+Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
151	151
152	152	{{formula}}
153	153	d(g_2;E)=d(P_2;E).
154	154	{{/formula}}
155		-
156		-Erkläre, warum ein beliebiger Punkt {{formula}}P_2{{/formula}} der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} genügt.
157	157	)))
158	158	1. (((
159		-Formuliere die vollständige Rückführung:
	191	+Fasse die Rückführung zusammen:
160	160
161	161	{{formula}}
162		-d(g_1;g_2)=d(P_2;E(P_1;\vec{u}_1;\vec{u}_2)).
	194	+d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
163	163	{{/formula}}
164	164
165		-Beschreibe in eigenen Worten die verwendete Problemlösestrategie.
166		-)))
167		-1. (((
168		-Bestimme einen Normalenvektor der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
	197	+mit
169	169
170		-Erkläre, wie sich der Abstand der windschiefen Geraden dadurch als Punkt-Ebene-Abstand berechnen lässt.
	199	+{{formula}}
	200	+E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
	201	+{{/formula}}
	202	+
	203	+Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
171	171	)))
172	172	{{/aufgabe}}