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Version 11.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/27 16:47
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1 {{seiteninhalt/}}
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3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
4 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
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6 {{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7 Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
8 {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
9 Bestimme den Abstand der beiden Punkte.
10 (%class=abc%)
11 1. Bestimme den Abstand //d// den //Q// von //P// hat.
12 1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
13 {{/aufgabe}}
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15 {{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
16 Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf der der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in der der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt.
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18 Betrachtet werden die drei Abstände
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20 {{formula}}
21 d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
22 {{/formula}}
23
24 (%class=abc%)
25 1. (((
26 Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
27
28 Zeige dazu:
29
30 {{formula}}
31 \{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
32 {{/formula}}
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34 und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
35 )))
36
37 1. (((
38 Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
39
40 {{formula}}
41 d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
42 {{/formula}}
43
44 Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
45 )))
46
47 1. (((
48 Untersuche die Gleichheitsfälle:
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50 * Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
51 * Wann gilt {{formula}}d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C)){{/formula}}?
52
53 Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
54 )))
55
56 1. (((
57 Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
58
59 Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
60 )))
61
62 1. (((
63 Formuliere eine allgemeine Aussage:
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65 {{formula}}
66 M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
67 {{/formula}}
68
69 Erläutere diese Aussage geometrisch.
70 )))
71 {{/aufgabe}}