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Version 14.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/27 16:56
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
4 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
5
6 {{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7 Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
8 {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
9 (%class=abc%)
10 1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
11 1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
12 {{/aufgabe}}
13
14 {{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
15 Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
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17 {{formula}}
18 d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
19 {{/formula}}
20
21 (%class=abc%)
22 1. (((
23 Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
24
25 Zeige dazu:
26
27 {{formula}}
28 \{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
29 {{/formula}}
30
31 und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
32 )))
33 1. (((
34 Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
35
36 {{formula}}
37 d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
38 {{/formula}}
39
40 Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
41 )))
42 1. (((
43 Untersuche die Gleichheitsfälle:
44
45 * Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
46 * Wann gilt {{formula}}d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C)){{/formula}}?
47
48 Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
49 )))
50 1. (((
51 Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
52
53 Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
54 )))
55 1. (((
56 Formuliere eine allgemeine Aussage:
57
58 {{formula}}
59 M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
60 {{/formula}}
61
62 Erläutere diese Aussage geometrisch.
63 )))
64 {{/aufgabe}}
65
66 {{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
67 Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
68
69 Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
70 Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
71 {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
72 beschrieben.
73 Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
74
75 (%class=abc%)
76 1. (((
77 Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
78 Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
79
80 Markiere in deiner Skizze:
81 * die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
82 * den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
83 * eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
84 )))
85 1. (((
86 Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
87 Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
88 )))
89 1. (((
90 Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
91 Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
92 )))
93 1. (((
94 Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
95 )))
96 1. (((
97 Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
98
99 Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
100 )))
101 1. (((
102 Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
103
104 Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
105 )))
106 {{/aufgabe}}
107
108 {{aufgabe id="Abstandsprobleme zurückführen" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="18"}}
109 Gegeben seien zwei Geraden
110
111 {{formula}}
112 g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1
113 {{/formula}}
114
115 und
116
117 {{formula}}
118 g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2.
119 {{/formula}}
120
121 Die Geraden seien windschief, insbesondere gilt {{formula}}\vec{u}_1{{/formula}} ist kein Vielfaches von {{formula}}\vec{u}_2{{/formula}}.
122
123 (%class=abc%)
124 1. (((
125 Beschreibe, weshalb der Abstand zweier windschiefer Geraden ein neues Abstandsproblem darstellt.
126
127 Vergleiche dazu mit den bereits bekannten Abstandsproblemen:
128 * Punkt – Punkt
129 * Punkt – Gerade
130 * Punkt – Ebene
131 )))
132 1. (((
133 Konstruiere eine Ebene {{formula}}E{{/formula}}, die die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zur Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
134
135 Gib diese Ebene in Parameterform an.
136 )))
137 1. (((
138 Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
139 )))
140 1. (((
141 Begründe die Rückführung
142
143 {{formula}}
144 d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
145 {{/formula}}
146
147 Erläutere geometrisch, warum sich der Abstand dabei nicht verändert.
148 )))
149 1. (((
150 Begründe anschließend die Rückführung
151
152 {{formula}}
153 d(g_2;E)=d(P_2;E).
154 {{/formula}}
155
156 Erkläre, warum ein beliebiger Punkt {{formula}}P_2{{/formula}} der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} genügt.
157 )))
158 1. (((
159 Formuliere die vollständige Rückführung:
160
161 {{formula}}
162 d(g_1;g_2)=d(P_2;E(P_1;\vec{u}_1;\vec{u}_2)).
163 {{/formula}}
164
165 Beschreibe in eigenen Worten die verwendete Problemlösestrategie.
166 )))
167 1. (((
168 Bestimme einen Normalenvektor der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
169
170 Erkläre, wie sich der Abstand der windschiefen Geraden dadurch als Punkt-Ebene-Abstand berechnen lässt.
171 )))
172 {{/aufgabe}}