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Version 16.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/27 17:08
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
4 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
5
6 {{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7 Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
8 {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
9 (%class=abc%)
10 1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
11 1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
12 {{/aufgabe}}
13
14 {{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
15 Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
16
17 {{formula}}
18 d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
19 {{/formula}}
20
21 (%class=abc%)
22 1. (((
23 Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
24
25 Zeige dazu:
26
27 {{formula}}
28 \{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
29 {{/formula}}
30
31 und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
32 )))
33 1. (((
34 Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
35
36 {{formula}}
37 d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
38 {{/formula}}
39
40 Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
41 )))
42 1. (((
43 Untersuche die Gleichheitsfälle:
44
45 * Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
46 * Wann gilt {{formula}}d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C)){{/formula}}?
47
48 Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
49 )))
50 1. (((
51 Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
52
53 Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
54 )))
55 1. (((
56 Formuliere eine allgemeine Aussage:
57
58 {{formula}}
59 M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
60 {{/formula}}
61
62 Erläutere diese Aussage geometrisch.
63 )))
64 {{/aufgabe}}
65
66 {{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
67 Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
68
69 Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
70 Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
71 {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
72 beschrieben.
73 Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
74
75 (%class=abc%)
76 1. (((
77 Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
78 Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
79
80 Markiere in deiner Skizze:
81 * die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
82 * den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
83 * eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
84 )))
85 1. (((
86 Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
87 Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
88 )))
89 1. (((
90 Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
91 Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
92 )))
93 1. (((
94 Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
95 )))
96 1. (((
97 Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
98
99 Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
100 )))
101 1. (((
102 Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
103
104 Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
105 )))
106 {{/aufgabe}}
107
108 {{aufgabe id="Abstandsprobleme Punkt Gerade Ebene" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="18"}}
109 Gegeben seien ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}, ein Punkt {{formula}}A{{/formula}}, eine Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}A\in g{{/formula}} und eine Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit {{formula}}g\subset E{{/formula}}. Der Punkt {{formula}}P{{/formula}} liege nicht in der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
110
111 Betrachtet werden die Abstände
112
113 {{formula}}
114 d(P;A),\quad d(P;g),\quad d(P;E).
115 {{/formula}}
116
117 (%class=abc%)
118 1. (((
119 Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
120 )))
121 1. (((
122 Beschreibe die drei Abstände jeweils als Minimierungsproblem der Form
123
124 {{formula}}
125 d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X\in M\,\}.
126 {{/formula}}
127
128 Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
129 )))
130 1. (((
131 Beschreibe für {{formula}}d(P;g){{/formula}} und {{formula}}d(P;E){{/formula}} jeweils den Punkt, der den Abstand realisiert.
132
133 Formuliere die zugehörige Orthogonalitätsbedingung.
134 )))
135 1. (((
136 Erläutere allgemein:
137
138 {{formula}}
139 M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
140 {{/formula}}
141
142 Beziehe diese Aussage auf die drei gegebenen Abstände.
143 )))
144 {{/aufgabe}}
145
146 {{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
147 Gegeben seien zwei windschiefe Geraden
148
149 {{formula}}
150 g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1
151 {{/formula}}
152
153 und
154
155 {{formula}}
156 g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2.
157 {{/formula}}
158
159 Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.
160
161 (%class=abc%)
162 1. (((
163 Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
164
165 Zeige, dass die Ebene
166
167 {{formula}}
168 E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
169 {{/formula}}
170
171 die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
172 )))
173 1. (((
174 Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
175 )))
176 1. (((
177 Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
178
179 {{formula}}
180 d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
181 {{/formula}}
182 )))
183 1. (((
184 Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
185
186 {{formula}}
187 d(g_2;E)=d(P_2;E).
188 {{/formula}}
189 )))
190 1. (((
191 Fasse die Rückführung zusammen:
192
193 {{formula}}
194 d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
195 {{/formula}}
196
197 mit
198
199 {{formula}}
200 E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
201 {{/formula}}
202
203 Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
204 )))
205 {{/aufgabe}}