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Version 18.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/27 17:14
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
4 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
5
6 {{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7 Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
8 {{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
9 (%class=abc%)
10 1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
11 1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
12 1. Interpretiere den Abstand als Länge eines Verbindungsvektors.
13 {{/aufgabe}}
14
15 {{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
16 Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
17
18 {{formula}}
19 d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
20 {{/formula}}
21
22 (%class=abc%)
23 1. (((
24 Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
25
26 Zeige dazu:
27
28 {{formula}}
29 \{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
30 {{/formula}}
31
32 und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
33 )))
34 1. (((
35 Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
36
37 {{formula}}
38 d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
39 {{/formula}}
40
41 Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
42 )))
43 1. (((
44 Untersuche die Gleichheitsfälle:
45
46 * Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
47 * Wann gilt {{formula}}d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C)){{/formula}}?
48
49 Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
50 )))
51 1. (((
52 Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
53
54 Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
55 )))
56 1. (((
57 Formuliere eine allgemeine Aussage:
58
59 {{formula}}
60 M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
61 {{/formula}}
62
63 Erläutere diese Aussage geometrisch.
64 )))
65 {{/aufgabe}}
66
67 {{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
68 Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
69
70 Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
71 Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
72 {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
73 beschrieben.
74 Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
75
76 (%class=abc%)
77 1. (((
78 Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
79 Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
80
81 Markiere in deiner Skizze:
82 * die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
83 * den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
84 * eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
85 )))
86 1. (((
87 Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
88 Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
89 )))
90 1. (((
91 Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
92 Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
93 )))
94 1. (((
95 Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
96 )))
97 1. (((
98 Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
99
100 Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
101 )))
102 1. (((
103 Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
104
105 Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
106 )))
107 {{/aufgabe}}
108
109 {{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
110 Gegeben seien zwei windschiefe Geraden
111
112 {{formula}}
113 g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1
114 {{/formula}}
115
116 und
117
118 {{formula}}
119 g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2.
120 {{/formula}}
121
122 Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.
123
124 (%class=abc%)
125 1. (((
126 Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist.
127
128 Zeige, dass die Ebene
129
130 {{formula}}
131 E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2
132 {{/formula}}
133
134 die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
135 )))
136 1. (((
137 Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
138 )))
139 1. (((
140 Erkläre geometrisch, weshalb gilt:
141
142 {{formula}}
143 d(g_1;g_2)=d(g_2;E).
144 {{/formula}}
145 )))
146 1. (((
147 Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann:
148
149 {{formula}}
150 d(g_2;E)=d(P_2;E).
151 {{/formula}}
152 )))
153 1. (((
154 Fasse die Rückführung zusammen:
155
156 {{formula}}
157 d(g_1;g_2)=d(P_2;E)
158 {{/formula}}
159
160 mit
161
162 {{formula}}
163 E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2.
164 {{/formula}}
165
166 Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
167 )))
168 {{/aufgabe}}