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Version 65.1 von Martina Wagner am 2026/05/12 13:28
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen. {{niveau}}g{{/niveau}}
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
5 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum (Quader, Pyramide mit Grundfläche in Koordinatenebene) berechnen. {{niveau}}g{{/niveau}}
6 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum (Quader, Pyramide) berechnen. {{niveau}}e{{/niveau}}
7
8 {{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" zeit="10"}}
9 Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
10
11 (%class=abc%)
12 1. (((
13 Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
14 )))
15 1. (((
16 Zeichne die Punkte {{formula}}P{{/formula}}, {{formula}}Q{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}.
17
18 Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
19 )))
20 1. (((
21 Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist wie {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
22 )))
23 1. (((
24 Ein Mitschüler behauptet: „Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
25
26 Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie gegebenenfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
27 )))
28 {{/aufgabe}}
29
30 {{aufgabe id="Abstand Punkt Koordinatenebene" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="8"}}
31 Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|4){{/formula}} und die Koordinatenebene {{formula}}Z:\ z=0{{/formula}}.
32
33 (%class=abc%)
34 1. (((
35 Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Z){{/formula}}.
36 )))
37 1. (((
38 Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
39
40 Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
41 )))
42 1. (((
43 Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}Z{{/formula}} doppelt so groß ist.
44 )))
45 {{/aufgabe}}
46
47 {{aufgabe id="Lotfußpunkt auf Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="10"}}
48 Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
49
50 {{formula}}
51 g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
52 {{/formula}}
53
54 (%class=abc%)
55 1. (((
56 Gib einen allgemeinen Punkt {{formula}}G_r{{/formula}} der Geraden {{formula}}g{{/formula}} in Koordinaten an.
57 )))
58 1. (((
59 Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PG_r}{{/formula}}.
60 )))
61 1. (((
62 Berechne dasjenige {{formula}}r_0{{/formula}}, für das der Vektor {{formula}}\overrightarrow{PG_{r_0}}{{/formula}} senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden {{formula}}g{{/formula}} steht, und erläutere, weshalb dafür gilt: {{formula}}d(P;G_{r_0})=d(P;g){{/formula}}.
63 )))
64 {{/aufgabe}}
65
66 {{aufgabe id="Abstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="10"}}
67 Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
68
69 {{formula}}
70 g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
71 {{/formula}}
72
73 (%class=abc%)
74 1. (((
75 Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;g){{/formula}}.
76 )))
77 1. (((
78 Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}}, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
79
80 Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
81 )))
82 1. (((
83 Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}g{{/formula}} doppelt so groß ist.
84 )))
85 {{/aufgabe}}
86
87 {{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
88 Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
89
90 {{formula}}
91 d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
92 {{/formula}}
93
94 (%class=abc%)
95 1. (((
96 Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
97 )))
98 1. (((
99 Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
100 )))
101 1. (((
102 Untersuche die Gleichheitsfälle:
103
104 * Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
105 * Wann gilt {{formula}}d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C)){{/formula}}?
106
107 Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
108 )))
109 1. (((
110 Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
111 )))
112 1. (((
113 Erläutere folgende Aussage geometrisch:
114
115 {{formula}}
116 M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
117 {{/formula}}
118 )))
119 {{/aufgabe}}
120
121 {{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
122 Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
123
124 Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
125
126 (%class=abc%)
127 1. (((
128 Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
129 * die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
130 * den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
131 * eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
132 )))
133 1. (((
134 Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
135 )))
136 1. (((
137 Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
138 Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
139 )))
140 1. (((
141 Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
142 )))
143 1. (((
144 Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
145
146 Erläutere anhand deiner Ergebnisse, warum die Drohne der Landefläche näher ist als der Begrenzungslinie und dem Punkt A.)))
147 1. (((
148 Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
149
150 Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
151 )))
152 {{/aufgabe}}
153
154 {{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
155 **Hinweis:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
156
157 Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
158
159 (%class=abc%)
160 1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
161 )))
162 1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
163 )))
164 1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
165 )))
166 1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
167 )))
168 1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
169 )))
170 {{/aufgabe}}
171
172 {{aufgabe id="Sonnenegel" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Baden Württemberg: berufliche Gymnasium, Abitur 2023 Teil 4 Vektorgeometrie" niveau=e zeit="25"}}
173 Die Punkte {{formula}}A(2|2|4){{/formula}}, {{formula}}B(3|2|2){{/formula}} und {{formula}}C(4|5|3){{/formula}} sind die Eckpunkte eines über dem Boden ({{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene) aufgespannten ebenen Sonnensegels.
174 Zur Befestigung dient unter anderem ein Pfosten, der sich durch die Strecke {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 4,5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}; 0 \le t \le 1{{/formula}}, beschreiben lässt.
175 Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
176 (%class=abc%)
177
178 1. (((Geben Sie die Länge des Pfosten an.
179 )))
180 1. (((Zeigen Sie, dass das Sonnensegel in der Ebene mit der Gleichung {{formula}}2x_1-x_2+x_3=6{{/formula}} liegt.
181 Bestimmen Sie den Abstand des Sonnensegels zum Boden.
182 )))
183 1. (((Der Punkt C ist mit einem Seil an dem Pfosten befestigt. Beurteilen Sie, ob ein Seil der Länge 1,85 m dafür ausreichend ist.
184 )))
185 {{/aufgabe}}
186
187 {{aufgabe id="Dreiecksflächen" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Dirk Tebbe, Martin Rathgeb nach BW BG, Abitur 2025 Aufgabe 5 Vektorgeometrie" niveau=e zeit="15"}}
188 Gegeben ist die Ebene {{formula}}E: 2x_1 − x_2 + 2x_3 = 4{{/formula}}. Ihre Spurpunkte bilden das Dreieck {{formula}}ABC{{/formula}}.
189
190 (%class=abc%)
191 1. Zeige, dass das Dreieck gleichschenklig ist.
192 1. Berechne den Umfang und die Fläche des Dreiecks.
193 1. Ermitte die Gleichung einer Geraden, die dieses Dreieck in zwei Teildreiecke mit gleichem Flächeninhalt zerlegt.
194 {{/aufgabe}}
195
196 {{aufgabe id="Spiegelung an Punkt" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="16"}}
197 Gegeben sind die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}}, {{formula}}C{{/formula}} sowie ein Punkt {{formula}}S{{/formula}}. Untersuche die Spiegelung von {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}g=g(A;B){{/formula}} und {{formula}}E=\text{E}(A;B;C){{/formula}} an {{formula}}S{{/formula}} unter folgenden Aspekten.
198
199 (%class=abc%)
200 1. (((
201 Fertige eine Skizze der Situation an und bezeichne die Spiegelbilder mit {{formula}}A'{{/formula}}, {{formula}}g'{{/formula}} und {{formula}}E'{{/formula}}.
202 )))
203 1. (((
204 Beschreibe die Lage der Spiegelbilder. Verwende dafür z.B. die Stichworte: Mittelpunkt, Gerade durch zwei Punkte, Ebene durch drei Punkte, Parallelität.
205 )))
206 1. (((
207 Stelle die Spiegelbilder algebraisch dar:
208
209 * Gib eine Darstellung des Punktes {{formula}}A'{{/formula}} an.
210 * Gib eine Parameterdarstellung von {{formula}}g'{{/formula}} an.
211 * Gib eine Parameterdarstellung von {{formula}}E'{{/formula}} an.
212 )))
213 {{/aufgabe}}