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Version 91.1 von Ansgar Wasmer-Rehberg am 2026/07/06 12:08
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1 {{seiteninhalt/}}
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3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen.
4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
5 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum (Quader, Pyramide mit Grundfläche in Koordinatenebene) berechnen.
6 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum (Quader, Pyramide) berechnen. {{niveau}}e{{/niveau}}
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8 == Abstände ==
9
10 {{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" zeit="10"}}
11 Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
12
13 (%class=abc%)
14 1. (((
15 Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
16 )))
17 1. (((
18 Zeichne die Punkte {{formula}}P{{/formula}}, {{formula}}Q{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}.
19
20 Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
21 )))
22 1. (((
23 Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist wie {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
24 )))
25 1. (((
26 Ein Mitschüler behauptet: „Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
27
28 Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie gegebenenfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
29 )))
30 {{/aufgabe}}
31
32 {{aufgabe id="Abstand Punkt Koordinatenebene" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="8"}}
33 Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|4){{/formula}} und die Koordinatenebene {{formula}}Z:\ z=0{{/formula}}.
34
35 (%class=abc%)
36 1. (((
37 Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Z){{/formula}}.
38 )))
39 1. (((
40 Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
41
42 Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
43 )))
44 1. (((
45 Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}Z{{/formula}} doppelt so groß ist.
46 )))
47 {{/aufgabe}}
48
49 {{aufgabe id="Lotfußpunkt auf Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="10"}}
50 Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
51
52 {{formula}}
53 g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
54 {{/formula}}
55
56 (%class=abc%)
57 1. (((
58 Gib einen allgemeinen Punkt {{formula}}G_r{{/formula}} der Geraden {{formula}}g{{/formula}} in Koordinaten an.
59 )))
60 1. (((
61 Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PG_r}{{/formula}}.
62 )))
63 1. (((
64 Berechne dasjenige {{formula}}r_0{{/formula}}, für das der Vektor {{formula}}\overrightarrow{PG_{r_0}}{{/formula}} senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden {{formula}}g{{/formula}} steht, und erläutere, weshalb dafür gilt: {{formula}}d(P;G_{r_0})=d(P;g){{/formula}}.
65 )))
66 {{/aufgabe}}
67
68
69 {{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer" zeit="10"}}
70 Problem: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \ vec {q}+t\cdot \vec {u}; t \element R{{/formula}} und die Gerade
71
72 g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
73 {{/aufgabe}}
74
75 {{aufgabe id="Abstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="10"}}
76 Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
77
78 {{formula}}
79 g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
80 {{/formula}}
81
82 (%class=abc%)
83 1. (((
84 Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;g){{/formula}}.
85 )))
86 1. (((
87 Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}}, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
88
89 Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
90 )))
91 1. (((
92 Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}g{{/formula}} doppelt so groß ist.
93 )))
94 {{/aufgabe}}
95
96 {{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="15"}}
97 Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
98
99 {{formula}}
100 d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
101 {{/formula}}
102
103 (%class=abc%)
104 1. (((
105 Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
106 )))
107 1. (((
108 Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
109 )))
110 1. (((
111 Untersuche die Gleichheitsfälle:
112
113 * Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
114 * Wann gilt {{formula}}d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C)){{/formula}}?
115
116 Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
117 )))
118 1. (((
119 Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
120 )))
121 1. (((
122 Erläutere folgende Aussage geometrisch:
123
124 {{formula}}
125 M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
126 {{/formula}}
127 )))
128 {{/aufgabe}}
129
130 {{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="20"}}
131 Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
132
133 Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
134
135 (%class=abc%)
136 1. (((
137 Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
138 * die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
139 * den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
140 * eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
141 )))
142 1. (((
143 Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
144 )))
145 1. (((
146 Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
147 Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
148 )))
149 1. (((
150 Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
151 )))
152 1. (((
153 Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
154
155 Erläutere anhand deiner Ergebnisse, warum die Drohne der Landefläche näher ist als der Begrenzungslinie und dem Punkt A.)))
156 1. (((
157 Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
158
159 Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
160 )))
161 {{/aufgabe}}
162
163 {{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="15"}}
164 **Hinweis:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
165
166 Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
167
168 (%class=abc%)
169 1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
170 )))
171 1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
172 )))
173 1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
174 )))
175 1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
176 )))
177 1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
178 )))
179 {{/aufgabe}}
180
181 {{aufgabe id="Sonnenegel" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Baden Württemberg: berufliche Gymnasium, Abitur 2023 Teil 4 Vektorgeometrie" niveau="e" zeit="25"}}
182 Die Punkte {{formula}}A(2|2|4){{/formula}}, {{formula}}B(3|2|2){{/formula}} und {{formula}}C(4|5|3){{/formula}} sind die Eckpunkte eines über dem Boden ({{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene) aufgespannten ebenen Sonnensegels.
183 Zur Befestigung dient unter anderem ein Pfosten, der sich durch die Strecke {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 4,5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}; 0 \le t \le 1{{/formula}}, beschreiben lässt.
184 Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
185 (%class=abc%)
186
187 1. (((Geben Sie die Länge des Pfosten an.
188 )))
189 1. (((Zeigen Sie, dass das Sonnensegel in der Ebene mit der Gleichung {{formula}}2x_1-x_2+x_3=6{{/formula}} liegt.
190 Bestimmen Sie den Abstand des Sonnensegels zum Boden.
191 )))
192 1. (((Der Punkt C ist mit einem Seil an dem Pfosten befestigt. Beurteilen Sie, ob ein Seil der Länge 1,85 m dafür ausreichend ist.
193 )))
194 {{/aufgabe}}
195
196 {{aufgabe id="Dreiecksflächen" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Dirk Tebbe, Martin Rathgeb nach BW BG, Abitur 2025 Aufgabe 5 Vektorgeometrie" niveau="e" zeit="15"}}
197 Gegeben ist die Ebene {{formula}}E: 2x_1 − x_2 + 2x_3 = 4{{/formula}}. Ihre Spurpunkte bilden das Dreieck {{formula}}ABC{{/formula}}.
198
199 (%class=abc%)
200 1. Zeige, dass das Dreieck gleichschenklig ist.
201 1. Berechne den Umfang und die Fläche des Dreiecks.
202 1. Ermitte die Gleichung einer Geraden, die dieses Dreieck in zwei Teildreiecke mit gleichem Flächeninhalt zerlegt.
203 {{/aufgabe}}
204
205 {{aufgabe id="Spiegelung an Punkt" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="16"}}
206 Gegeben sind die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}}, {{formula}}C{{/formula}} sowie ein Punkt {{formula}}S{{/formula}}. Untersuche die Spiegelung von {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}g=g(A;B){{/formula}} und {{formula}}E=\text{E}(A;B;C){{/formula}} an {{formula}}S{{/formula}} unter folgenden Aspekten.
207
208 (%class=abc%)
209 1. (((
210 Fertige eine Skizze der Situation an und bezeichne die Spiegelbilder mit {{formula}}A'{{/formula}}, {{formula}}g'{{/formula}} und {{formula}}E'{{/formula}}.
211 )))
212 1. (((
213 Beschreibe die Lage der Spiegelbilder. Verwende dafür z.B. die Stichworte: Mittelpunkt, Gerade durch zwei Punkte, Ebene durch drei Punkte, Parallelität.
214 )))
215 1. (((
216 Stelle die Spiegelbilder algebraisch dar:
217
218 * Gib eine Darstellung des Punktes {{formula}}A'{{/formula}} an.
219 * Gib eine Parameterdarstellung von {{formula}}g'{{/formula}} an.
220 * Gib eine Parameterdarstellung von {{formula}}E'{{/formula}} an.
221 )))
222 {{/aufgabe}}
223
224 {{aufgabe id="Punkt mit vorgebenen Abstand bestimmen" afb="II" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Sebastian Schirmer" zeit="5"}}
225 Gegeben ist die Gerade {{formula}}g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right){{/formula}} mit {{formula}}t \in \mathbb{R}{{/formula}} und der Punkt {{formula}}P (-2|3|1){{/formula}}.
226 Der Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} beträgt 6 LE.
227
228 Bestimme einen Punkt {{formula}}Q{{/formula}}, der von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} 2 LE entfernt ist.
229 {{/aufgabe}}
230
231 == Volumina ==
232
233 {{aufgabe id="Quader durch Punkte" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Günther Beikert, Martin Rathgeb, nach IQB e.V. 2015 Teil A: Geometrie 1.1" zeit="20"}}
234 Gegeben sind die drei Punkte {{formula}}A (2|1|2),\ B (-1|2|0),\ C_t (4t|2t|-5t){{/formula}} mit {{formula}}t>0{{/formula}}.
235 (%class=abc%)
236 1. Zeichne die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_1{{/formula}} in ein Koordinatensystem.
237 1. Zeige, dass die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_t{{/formula}} für jedes {{formula}}t{{/formula}} zusammen mit dem Koordinatenursprung Eckpunkte eines Quaders sind.
238 1. Zeichne die Punkte {{formula}}A',\ B',\ C_1',\ O'{{/formula}}, die im Quader von Teilaufgabe b den Punkten {{formula}}A,\ B,\ C_1,\ O{{/formula}} gegenüber liegen, in das Koordinatensystem von Teilaufgabe a und berechne ihre Koordinaten.
239 1. Bestimme für die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_1{{/formula}} das Volumen des Quaders aus Teilaufgabe b.
240 1. Untersuche, ob es ein {{formula}}t{{/formula}} gibt, sodass der Quader aus Teilaufgabe b das Volumen 15 hat.
241 {{/aufgabe}}
242
243
244 {{aufgabe id="Spiegelung eines Punktes an einer Ebene" afb="I,II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2021MerhoehtAAGLAA211_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
245 Gegeben sind der Punkt {{formula}}P(-1| 7 | 2){{/formula}} und die Ebene {{formula}}E:\ x_1 + 3x_2 = 0{{/formula}}.
246 (%class=abc%)
247 1. Zeige, dass {{formula}}P{{/formula}} nicht in {{formula}}E{{/formula}} liegt.
248 1. Bestimme die Koordinaten des Punkts, der entsteht, wenn {{formula}}P{{/formula}} an {{formula}}E{{/formula}} gespiegelt
249 wird.
250 {{/aufgabe}}
251
252 {{aufgabe id="Spiegelung an einer Ebene" afb="I,II, III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2023MerhoehtAAGLAA222_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
253 Gegeben sind die Geraden {{formula}} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}r, s \in \mathbb{R}{{/formula}}.
254
255 (%class=abc%)
256 1. Begründe, dass {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} nicht identisch sind.
257 1. Die Gerade {{formula}} g {{/formula}} soll durch Spiegelung an einer Ebene auf die Gerade {{formula}} h {{/formula}} abgebildet werden. Bestimme eine Gleichung einer geeigneten Ebene und erläutere dein Vorgehen.
258 {{/aufgabe}}
259
260 {{aufgabe id="Orthogonalität zur Ebene und Spiegelung" afb="I,II, III" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2025MgrundlegendAAGLAA221_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="g" tags="iqb" cc="BY"}}
261 Die Ebene {{formula}} E {{/formula}} wird durch die Gleichung {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}r, s \in \mathbb{R} {{/formula}} beschrieben.
262
263 (%class=abc%)
264 1. Zeige, dass der Vektor {{formula}}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} senkrecht zur Ebene {{formula}} E {{/formula}} steht.
265 1. Bestimme die Koordinaten eines Punkts {{formula}} P {{/formula}} mit folgender Eigenschaft:
266 Wird der Punkt {{formula}} P {{/formula}} an der Ebene {{formula}} E {{/formula}} gespiegelt, so hat der entstehende Punkt vom Punkt {{formula}} P {{/formula}} den Abstand 20.
267 {{/aufgabe}}
268
269
270 {{aufgabe id="Volumen von Quadern" afb="I,II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://mathe-arbeitsheft.zsl-bw.de/xwiki/bin/edit/Jahrgangsstufen/BPE_16_6/WebHome]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
271 [[image:Quader.png||width="120" style="float: right"]]
272 Die Vektoren {{formula}} \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} {{/formula}}, {{formula}} \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} und {{formula}} \vec{c}_t = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} {{/formula}} spannen für jeden Wert von {{formula}} t \in \mathbb{R} \setminus \{0\} {{/formula}} einen Körper auf. Die Abbildung
273 zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von {{formula}}t{{/formula}}.
274
275 (%class=abc%)
276 1. Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
277 1. Bestimme diejenigen Werte von {{formula}} t {{/formula}}, für die der zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.
278 {{/aufgabe}}