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Wiki-Quellcode von Lösung Abstand Punkt Punkt

Version 1.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/28 16:04
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1 {{lösung}}
2 (%class=abc%)
3
4 1. (((
5 {{formula}}\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}1-1\5-3\3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}{{/formula}}
6
7 Damit gilt:
8
9 {{formula}}d(P;Q)=|\overrightarrow{PQ}|=\sqrt{0^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}{{/formula}}.
10 )))
11
12 1. (((
13 Drei weitere mögliche Punkte mit demselben Abstand von {{formula}}P{{/formula}} sind zum Beispiel
14
15 {{formula}}A(1|1|5){{/formula}}, {{formula}}B(3|3|5){{/formula}} und {{formula}}C(1|3|7){{/formula}}.
16
17 Denn jeweils gilt:
18
19 {{formula}}d(P;A)=d(P;B)=d(P;C)=2\sqrt{2}{{/formula}}.
20
21 Der geometrische Ort aller Punkte mit diesem Abstand ist eine Kugel um {{formula}}P{{/formula}} mit dem Radius {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}}.
22 )))
23
24 1. (((
25 Alle Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}, liegen auf der Kugel mit Mittelpunkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und Radius
26
27 {{formula}}r=d(P;Q)=2\sqrt{2}{{/formula}}.
28
29 Alle Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist, liegen auf der Kugel mit demselben Mittelpunkt {{formula}}P{{/formula}} und Radius
30
31 {{formula}}2r=4\sqrt{2}{{/formula}}.
32 )))
33
34 1. (((
35 Die Aussage des Mitschülers ist nicht für alle Werte von {{formula}}r{{/formula}} korrekt, weil ein Abstand nicht negativ sein kann.
36
37 Für {{formula}}r=-2{{/formula}} gilt:
38
39 {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}-2\overrightarrow{PQ}{{/formula}}
40
41 mit
42
43 {{formula}}\overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}{{/formula}}
44 und
45 {{formula}}\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}{{/formula}}.
46
47 Also:
48
49 {{formula}}\overrightarrow{OK}=\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}-2\begin{pmatrix}0\2\-2\end{pmatrix}
50 =\begin{pmatrix}1\-1\9\end{pmatrix}{{/formula}}.
51
52 Damit ist
53
54 {{formula}}K(1|-1|9){{/formula}}.
55
56 Weiter gilt:
57
58 {{formula}}\overrightarrow{PK}=\overrightarrow{OK}-\overrightarrow{OP}
59 =\begin{pmatrix}1\-1\9\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}1\3\5\end{pmatrix}
60 =\begin{pmatrix}0\-4\4\end{pmatrix}{{/formula}}.
61
62 Also:
63
64 {{formula}}d(P;K)=|\overrightarrow{PK}|=\sqrt{0^2+(-4)^2+4^2}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}{{/formula}}.
65
66 Da {{formula}}d(P;Q)=2\sqrt{2}{{/formula}} ist, gilt
67
68 {{formula}}d(P;K)=2\cdot d(P;Q){{/formula}}.
69
70 Korrekt lautet die Aussage daher:
71
72 {{formula}}d(P;K)=|r|\cdot d(P;Q){{/formula}}.
73
74 Für positive Werte von {{formula}}r{{/formula}} stimmt die Aussage des Mitschülers; für negative Werte muss der Betrag von {{formula}}r{{/formula}} verwendet werden.
75 )))
76 {{/lösung}}