Änderungen von Dokument Lösung Orthogonalität zur Ebene und Spiegelung

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

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28	28	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
29	29	Aus Teilaufgabe a) wissen wir bereits, dass der Vektor {{formula}}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} senkrecht zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} steht und somit ein Normalenvektor der Ebene ist.
30	30	<br>
31		-Da der Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zum Spiegelpunkt 20 betragen soll, muss der Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene 10 betragen (die Ebene liegt genau in der Mitte zwischen dem Originalpunkt und dem Spiegelpunkt).
	31	+Da der Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zum Spiegelpunkt {{formula}} 20 {{/formula}} betragen soll, muss der Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene 10 betragen (die Ebene liegt genau in der Mitte zwischen dem Originalpunkt und dem Spiegelpunkt).
32	32	<br>
33	33	Die Länge des Normalenvektors beträgt {{formula}}\left|\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{4^2+3^2+0^2} =\sqrt{16+9}=5{{/formula}}.
34	34	<p></p>
35		-Um den Punkt {{formula}}P{{/formula}} zu erhalten, können wir zum Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene (zum Beispiel des Stützpunktes) also das Zweifache des Normalenvektors addieren:
	35	+Um den Punkt {{formula}}P{{/formula}} zu erhalten, können wir zum Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene (zum Beispiel des Stützpunktes) das Zweifache des Normalenvektors addieren:
36	36	<br>
37	37	{{formula}}\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}}
38	38	<p></p>