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Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/05/29 14:45
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Anna Kukin 1.1 1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = -12 + 12 = 0, \quad \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}= 12 - 12 = 0{{/formula}}
4 {{/detail}}
5
6
7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 Damit ein Vektor senkrecht (orthogonal) auf einer Ebene steht, muss er senkrecht zu **beiden** Richtungsvektoren der Ebene stehen. Das Skalarprodukt aus dem Vektor {{formula}} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und jedem der beiden Richtungsvektoren muss also den Wert null ergeben.
9 <p></p>
10 Für den ersten Richtungsvektor ergibt sich:
11 <br>
12 {{formula}}\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} =(-3)\cdot 4+4\cdot 3+1\cdot 0= -12 + 12 = 0{{/formula}}
13 <br>
14 Und für den zweiten Richtungsvektor:
15 <br>
16 {{formula}}\begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}=3\cdot 4+(-4)\cdot 3+0\cdot 0=12 - 12 = 0{{/formula}}
17 <p></p>
18 Da beide Skalarprodukte {{formula}} 0 {{/formula}} ergeben, steht der Vektor {{formula}}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} senkrecht auf beiden Richtungsvektoren und somit senkrecht zur Ebene {{formula}} E {{/formula}}.
19 {{/detail}}
20
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22 === Teilaufgabe b) ===
23 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
24 {{formula}}\left|\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{16+9}=5; \quad \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}}
25 {{/detail}}
26
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28 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
29 Aus Teilaufgabe a) wissen wir bereits, dass der Vektor {{formula}}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} senkrecht zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} steht und somit ein Normalenvektor der Ebene ist.
30 <br>
Anna Kukin 2.1 31 Da der Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zum Spiegelpunkt 20 betragen soll, muss der Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene 10 betragen (die Ebene liegt genau in der Mitte zwischen dem Originalpunkt und dem Spiegelpunkt).
Anna Kukin 1.1 32 <br>
33 Die Länge des Normalenvektors beträgt {{formula}}\left|\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}\right| = \sqrt{4^2+3^2+0^2} =\sqrt{16+9}=5{{/formula}}.
34 <p></p>
Anna Kukin 2.1 35 Um den Punkt {{formula}}P{{/formula}} zu erhalten, können wir zum Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Ebene (zum Beispiel des Stützpunktes) also das Zweifache des Normalenvektors addieren:
Anna Kukin 1.1 36 <br>
37 {{formula}}\begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix}+2\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 9 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}}
38 <p></p>
39 Der Punkt lautet somit {{formula}} P(9|3|0) {{/formula}}.
40 {{/detail}}