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Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

Zuletzt geändert von Rüdger Hölzel am 2026/07/07 12:38
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bearbeitet von Clemens Baur
am 2026/07/06 16:01
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bearbeitet von Sebastian Schirmer
am 2026/06/10 17:11
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
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1 -XWiki.clemensbaur
1 +XWiki.sebastianschirmer
Inhalt
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65 65  )))
66 66  {{/aufgabe}}
67 67  
68 -
69 -{{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer" zeit="10"}}
70 -
71 -**Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
72 -
73 - Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
74 -
75 - Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
76 -
77 -1. Beschreiben Sie in eigenen Worten den für Lösungsmöglichkeit 1 dargestellen Rechenweg.
78 -1. Dokumentieren Sie den Rechenweg zu Lösungsmöglichkeit 2.
79 -1. Erstellen Sie für Lösungsmöglichkeit 3 den Rechenweg und beschreiben Sie die einzelnen Schritte.
80 - 1. Erläutern Sie welche Idee hinter Lösungsweg 4 steckt.
81 -
82 -||Lösungsmöglichkeit 1: Hilfsebene
83 - [[image:Moeglichkeit_1.png||width="250"]]|| Rechnung
84 -||Lösungsmöglichkeit 2: Extremwertaufgabe
85 - [[image:Moeglichkeit_2.png||width="450"]]||Verbindungsvektor {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} in Abhängigkeit
86 -des Parameters {{formula}}t{{/formula}} bilden.
87 -Betrag von {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} bestimmen. Dieser Term
88 -beschreibt den Abstand {{formula}}d{{/formula}} in Abhängigkeit
89 -des Parameters {{formula}}t{{/formula}}.
90 -Das Minimum von {{formula}}d(t){{/formula}} soll bestimmt werden.
91 -Hierzu betrachtet man den Term unter der
92 -Wurzel ({{formula}}f(t){{/formula}}).
93 -Mit Hilfe der Differenzialrechnung das lokale
94 -Minimum von {{formula}}f{{/formula}} berechnen (Da das Schaubild
95 -von {{formula}}f{{/formula}} eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist
96 -dies auch das globale Minimum.
97 -Die Minimumstelle in {{formula}}d(t){{/formula}} einsetzen.
98 -Das Ergebnis ist der gesuchte Abstand.
99 -
100 -||Lösungsmöglichkeit 3: Orthogonalität
101 - [[image:Moeglichkeit_3.png||width="250"]]|| Lösungsmöglichkeit 4: Höhe eines Parallelogramms
102 - [[image:Moeglichkeit_4.png||width="250"]]
103 -
104 -
105 -
106 -{{/aufgabe}}
107 -
108 108  {{aufgabe id="Abstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="10"}}
109 109  Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
110 110  
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254 254  )))
255 255  {{/aufgabe}}
256 256  
257 -{{aufgabe id="Punkt mit vorgebenen Abstand bestimmen" afb="II" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Sebastian Schirmer" zeit="5"}}
258 -Gegeben ist die Gerade {{formula}}g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right){{/formula}} mit {{formula}}t \in \mathbb{R}{{/formula}} und der Punkt {{formula}}P (-2|3|1){{/formula}}.
259 -Der Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} beträgt 6 LE.
260 -
261 -Bestimme einen Punkt {{formula}}Q{{/formula}}, der von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} 2 LE entfernt ist.
262 -{{/aufgabe}}
263 -
264 264  == Volumina ==
265 265  
266 266  {{aufgabe id="Quader durch Punkte" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Günther Beikert, Martin Rathgeb, nach IQB e.V. 2015 Teil A: Geometrie 1.1" zeit="20"}}
Moeglichkeit_1.png
Author
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