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Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.clemensbaur
1 +XWiki.dirktebbe
Inhalt
... ... @@ -1,13 +1,10 @@
1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen.
3 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen. {{niveau}}g{{/niveau}}
4 4  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
5 -[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum (Quader, Pyramide mit Grundfläche in Koordinatenebene) berechnen.
6 -[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum (Quader, Pyramide) berechnen. {{niveau}}e{{/niveau}}
5 +[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
7 7  
8 -== Abstände ==
9 -
10 -{{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" zeit="10"}}
7 +{{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" niveau=g zeit="10"}}
11 11  Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
12 12  
13 13  (%class=abc%)
... ... @@ -29,7 +29,7 @@
29 29  )))
30 30  {{/aufgabe}}
31 31  
32 -{{aufgabe id="Abstand Punkt Koordinatenebene" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="8"}}
29 +{{aufgabe id="Abstand Punkt Koordinatenebene" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="8"}}
33 33  Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|4){{/formula}} und die Koordinatenebene {{formula}}Z:\ z=0{{/formula}}.
34 34  
35 35  (%class=abc%)
... ... @@ -46,7 +46,7 @@
46 46  )))
47 47  {{/aufgabe}}
48 48  
49 -{{aufgabe id="Lotfußpunkt auf Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="10"}}
46 +{{aufgabe id="Lotfußpunkt auf Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="10"}}
50 50  Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
51 51  
52 52  {{formula}}
... ... @@ -65,47 +65,7 @@
65 65  )))
66 66  {{/aufgabe}}
67 67  
68 -
69 -{{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer" zeit="10"}}
70 -
71 -**Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
72 -
73 - Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
74 -
75 - Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
76 -
77 -1. Beschreiben Sie in eigenen Worten den für Lösungsmöglichkeit 1 dargestellen Rechenweg.
78 -1. Dokumentieren Sie den Rechenweg zu Lösungsmöglichkeit 2.
79 -1. Erstellen Sie für Lösungsmöglichkeit 3 den Rechenweg und beschreiben Sie die einzelnen Schritte.
80 - 1. Erläutern Sie welche Idee hinter Lösungsweg 4 steckt.
81 -
82 -||Lösungsmöglichkeit 1: Hilfsebene
83 - [[image:Moeglichkeit_1.png||width="250"]]||[[image:Rechenweg_1.png||width="350"]]
84 -||Lösungsmöglichkeit 2: Extremwertaufgabe
85 - [[image:Moeglichkeit_2.png||width="450"]]||Verbindungsvektor {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} in Abhängigkeit
86 -des Parameters {{formula}}t{{/formula}} bilden.
87 -Betrag von {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} bestimmen. Dieser Term
88 -beschreibt den Abstand {{formula}}d{{/formula}} in Abhängigkeit
89 -des Parameters {{formula}}t{{/formula}}.
90 -Das Minimum von {{formula}}d(t){{/formula}} soll bestimmt werden.
91 -Hierzu betrachtet man den Term unter der
92 -Wurzel ({{formula}}f(t){{/formula}}).
93 -Mit Hilfe der Differenzialrechnung das lokale
94 -Minimum von {{formula}}f{{/formula}} berechnen (Da das Schaubild
95 -von {{formula}}f{{/formula}} eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist
96 -dies auch das globale Minimum.
97 -Die Minimumstelle in {{formula}}d(t){{/formula}} einsetzen.
98 -Das Ergebnis ist der gesuchte Abstand.
99 -
100 -||Lösungsmöglichkeit 3: Orthogonalität
101 - [[image:Moeglichkeit_3.png||width="250"]]|| Lösungsmöglichkeit 4: Höhe eines Parallelogramms
102 - [[image:Moeglichkeit_4.png||width="250"]]
103 -
104 -
105 -
106 -{{/aufgabe}}
107 -
108 -{{aufgabe id="Abstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="10"}}
65 +{{aufgabe id="Abstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=g zeit="10"}}
109 109  Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
110 110  
111 111  {{formula}}
... ... @@ -126,7 +126,7 @@
126 126  )))
127 127  {{/aufgabe}}
128 128  
129 -{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="15"}}
86 +{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
130 130  Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
131 131  
132 132  {{formula}}
... ... @@ -160,10 +160,10 @@
160 160  )))
161 161  {{/aufgabe}}
162 162  
163 -{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="20"}}
120 +{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
164 164  Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
165 165  
166 -Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
123 +Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
167 167  
168 168  (%class=abc%)
169 169  1. (((
... ... @@ -193,7 +193,7 @@
193 193  )))
194 194  {{/aufgabe}}
195 195  
196 -{{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="15"}}
153 +{{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
197 197  **Hinweis:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
198 198  
199 199  Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
... ... @@ -211,7 +211,7 @@
211 211  )))
212 212  {{/aufgabe}}
213 213  
214 -{{aufgabe id="Sonnenegel" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Baden Württemberg: berufliche Gymnasium, Abitur 2023 Teil 4 Vektorgeometrie" niveau="e" zeit="25"}}
171 +{{aufgabe id="Sonnenegel" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Baden Württemberg: berufliche Gymnasium, Abitur 2023 Teil 4 Vektorgeometrie" niveau=e zeit="25"}}
215 215  Die Punkte {{formula}}A(2|2|4){{/formula}}, {{formula}}B(3|2|2){{/formula}} und {{formula}}C(4|5|3){{/formula}} sind die Eckpunkte eines über dem Boden ({{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene) aufgespannten ebenen Sonnensegels.
216 216  Zur Befestigung dient unter anderem ein Pfosten, der sich durch die Strecke {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 4,5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}; 0 \le t \le 1{{/formula}}, beschreiben lässt.
217 217  Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
... ... @@ -226,7 +226,7 @@
226 226  )))
227 227  {{/aufgabe}}
228 228  
229 -{{aufgabe id="Dreiecksflächen" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Dirk Tebbe, Martin Rathgeb nach BW BG, Abitur 2025 Aufgabe 5 Vektorgeometrie" niveau="e" zeit="15"}}
186 +{{aufgabe id="Dreiecksflächen" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Dirk Tebbe, Martin Rathgeb nach BW BG, Abitur 2025 Aufgabe 5 Vektorgeometrie" niveau=e zeit="15"}}
230 230  Gegeben ist die Ebene {{formula}}E: 2x_1 − x_2 + 2x_3 = 4{{/formula}}. Ihre Spurpunkte bilden das Dreieck {{formula}}ABC{{/formula}}.
231 231  
232 232  (%class=abc%)
... ... @@ -235,77 +235,28 @@
235 235  1. Ermitte die Gleichung einer Geraden, die dieses Dreieck in zwei Teildreiecke mit gleichem Flächeninhalt zerlegt.
236 236  {{/aufgabe}}
237 237  
238 -{{aufgabe id="Spiegelung an Punkt" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="16"}}
239 -Gegeben sind die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}}, {{formula}}C{{/formula}} sowie ein Punkt {{formula}}S{{/formula}}. Untersuche die Spiegelung von {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}g=g(A;B){{/formula}} und {{formula}}E=\text{E}(A;B;C){{/formula}} an {{formula}}S{{/formula}} unter folgenden Aspekten.
195 +{{aufgabe id="Spiegelung an einem Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="12"}}
196 +Gegeben sind die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}}, {{formula}}C{{/formula}} sowie ein Punkt {{formula}}S{{/formula}}.
240 240  
241 241  (%class=abc%)
242 242  1. (((
243 -Fertige eine Skizze der Situation an und bezeichne die Spiegelbilder mit {{formula}}A'{{/formula}}, {{formula}}g'{{/formula}} und {{formula}}E'{{/formula}}.
200 +Untersuche die Spiegelung der folgenden Objekte an {{formula}}S{{/formula}}:
201 +
202 +* den Punkt {{formula}}A{{/formula}},
203 +* die Gerade {{formula}}g=g(A;B){{/formula}},
204 +* die Ebene {{formula}}E=\text{E}(A;B;C){{/formula}}.
205 +
206 +Fertige eine Skizze an und bezeichne die Spiegelbilder mit {{formula}}A'{{/formula}}, {{formula}}g'{{/formula}} und {{formula}}E'{{/formula}}.
207 +
208 +Beschreibe die Lage der Spiegelbilder.
244 244  )))
245 245  1. (((
246 -Beschreibe die Lage der Spiegelbilder. Verwende dafür z.B. die Stichworte: Mittelpunkt, Gerade durch zwei Punkte, Ebene durch drei Punkte, Parallelität.
247 -)))
248 -1. (((
249 -Stelle die Spiegelbilder algebraisch dar:
211 +Stelle die Spiegelung algebraisch dar:
250 250  
251 -* Gib eine Darstellung des Punktes {{formula}}A'{{/formula}} an.
252 -* Gib eine Parameterdarstellung von {{formula}}g'{{/formula}} an.
253 -* Gib eine Parameterdarstellung von {{formula}}E'{{/formula}} an.
213 +* Bestimme den Punkt {{formula}}A'{{/formula}}.
214 +* Stelle die Gerade {{formula}}g'{{/formula}} in Parameterform dar.
215 +* Stelle die Ebene {{formula}}E'{{/formula}} in Parameterform dar und gib zusätzlich eine Gleichung in Koordinatenform an.
254 254  )))
255 255  {{/aufgabe}}
256 256  
257 -{{aufgabe id="Punkt mit vorgebenen Abstand bestimmen" afb="II" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Sebastian Schirmer" zeit="5"}}
258 -Gegeben ist die Gerade {{formula}}g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right){{/formula}} mit {{formula}}t \in \mathbb{R}{{/formula}} und der Punkt {{formula}}P (-2|3|1){{/formula}}.
259 -Der Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} beträgt 6 LE.
260 260  
261 -Bestimme einen Punkt {{formula}}Q{{/formula}}, der von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} 2 LE entfernt ist.
262 -{{/aufgabe}}
263 -
264 -== Volumina ==
265 -
266 -{{aufgabe id="Quader durch Punkte" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Günther Beikert, Martin Rathgeb, nach IQB e.V. 2015 Teil A: Geometrie 1.1" zeit="20"}}
267 -Gegeben sind die drei Punkte {{formula}}A (2|1|2),\ B (-1|2|0),\ C_t (4t|2t|-5t){{/formula}} mit {{formula}}t>0{{/formula}}.
268 -(%class=abc%)
269 -1. Zeichne die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_1{{/formula}} in ein Koordinatensystem.
270 -1. Zeige, dass die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_t{{/formula}} für jedes {{formula}}t{{/formula}} zusammen mit dem Koordinatenursprung Eckpunkte eines Quaders sind.
271 -1. Zeichne die Punkte {{formula}}A',\ B',\ C_1',\ O'{{/formula}}, die im Quader von Teilaufgabe b den Punkten {{formula}}A,\ B,\ C_1,\ O{{/formula}} gegenüber liegen, in das Koordinatensystem von Teilaufgabe a und berechne ihre Koordinaten.
272 -1. Bestimme für die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_1{{/formula}} das Volumen des Quaders aus Teilaufgabe b.
273 -1. Untersuche, ob es ein {{formula}}t{{/formula}} gibt, sodass der Quader aus Teilaufgabe b das Volumen 15 hat.
274 -{{/aufgabe}}
275 -
276 -
277 -{{aufgabe id="Spiegelung eines Punktes an einer Ebene" afb="I,II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2021MerhoehtAAGLAA211_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
278 -Gegeben sind der Punkt {{formula}}P(-1| 7 | 2){{/formula}} und die Ebene {{formula}}E:\ x_1 + 3x_2 = 0{{/formula}}.
279 -(%class=abc%)
280 -1. Zeige, dass {{formula}}P{{/formula}} nicht in {{formula}}E{{/formula}} liegt.
281 -1. Bestimme die Koordinaten des Punkts, der entsteht, wenn {{formula}}P{{/formula}} an {{formula}}E{{/formula}} gespiegelt
282 -wird.
283 -{{/aufgabe}}
284 -
285 -{{aufgabe id="Spiegelung an einer Ebene" afb="I,II, III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2023MerhoehtAAGLAA222_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
286 -Gegeben sind die Geraden {{formula}} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}r, s \in \mathbb{R}{{/formula}}.
287 -
288 -(%class=abc%)
289 -1. Begründe, dass {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} nicht identisch sind.
290 -1. Die Gerade {{formula}} g {{/formula}} soll durch Spiegelung an einer Ebene auf die Gerade {{formula}} h {{/formula}} abgebildet werden. Bestimme eine Gleichung einer geeigneten Ebene und erläutere dein Vorgehen.
291 -{{/aufgabe}}
292 -
293 -{{aufgabe id="Orthogonalität zur Ebene und Spiegelung" afb="I,II, III" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2025MgrundlegendAAGLAA221_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="g" tags="iqb" cc="BY"}}
294 -Die Ebene {{formula}} E {{/formula}} wird durch die Gleichung {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}r, s \in \mathbb{R} {{/formula}} beschrieben.
295 -
296 -(%class=abc%)
297 -1. Zeige, dass der Vektor {{formula}}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} senkrecht zur Ebene {{formula}} E {{/formula}} steht.
298 -1. Bestimme die Koordinaten eines Punkts {{formula}} P {{/formula}} mit folgender Eigenschaft:
299 -Wird der Punkt {{formula}} P {{/formula}} an der Ebene {{formula}} E {{/formula}} gespiegelt, so hat der entstehende Punkt vom Punkt {{formula}} P {{/formula}} den Abstand 20.
300 -{{/aufgabe}}
301 -
302 -
303 -{{aufgabe id="Volumen von Quadern" afb="I,II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://mathe-arbeitsheft.zsl-bw.de/xwiki/bin/edit/Jahrgangsstufen/BPE_16_6/WebHome]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
304 -[[image:Quader.png||width="120" style="float: right"]]
305 -Die Vektoren {{formula}} \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} {{/formula}}, {{formula}} \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} und {{formula}} \vec{c}_t = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} {{/formula}} spannen für jeden Wert von {{formula}} t \in \mathbb{R} \setminus \{0\} {{/formula}} einen Körper auf. Die Abbildung
306 -zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von {{formula}}t{{/formula}}.
307 -
308 -(%class=abc%)
309 -1. Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
310 -1. Bestimme diejenigen Werte von {{formula}} t {{/formula}}, für die der zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.
311 -{{/aufgabe}}
Moeglichkeit_1.png
Author
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -XWiki.clemensbaur
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Inhalt
Moeglichkeit_2.png
Author
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1 -XWiki.clemensbaur
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Inhalt
Moeglichkeit_3.png
Author
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1 -XWiki.clemensbaur
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Inhalt
Moeglichkeit_4.png
Author
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1 -XWiki.clemensbaur
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Inhalt
Quader.png
Author
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1 -XWiki.akukin
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Inhalt
Rechenweg_1.png
Author
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1 -XWiki.clemensbaur
Größe
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1 -229.7 KB
Inhalt