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Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Übergeordnete Seite
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -Jahrgangsstufen.WebHome
1 +Main.WebHome
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.clemensbaur
1 +XWiki.martinrathgeb
Inhalt
... ... @@ -1,147 +1,45 @@
1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen.
4 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
5 -[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum (Quader, Pyramide mit Grundfläche in Koordinatenebene) berechnen.
6 -[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum (Quader, Pyramide) berechnen. {{niveau}}e{{/niveau}}
3 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände bestimmen.
4 +[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum berechnen.
7 7  
8 -== Abstände ==
9 -
10 -{{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" zeit="10"}}
11 -Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
12 -
6 +{{aufgabe id="Abstand zweier Punkte" afb="II" kompetenzen="K1, K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe" zeit="15"}}
7 +Es sind zwei Punkte //P// und //Q// gegeben:
8 +{{formula}}P(1|3|5){{/formula}}, {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}
13 13  (%class=abc%)
14 -1. (((
15 -Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
16 -)))
17 -1. (((
18 -Zeichne die Punkte {{formula}}P{{/formula}}, {{formula}}Q{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}.
19 -
20 -Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
21 -)))
22 -1. (((
23 -Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist wie {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
24 -)))
25 -1. (((
26 -Ein Mitschüler behauptet: „Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
27 -
28 -Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie gegebenenfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
29 -)))
10 +1. Bestimme den Abstand //d//, den //Q// von //P// hat.
11 +1. Bestimme einen weiteren Punkt //R//, der ebenfalls den Abstand //d// zu Punkt //P// hat.
30 30  {{/aufgabe}}
31 31  
32 -{{aufgabe id="Abstand Punkt Koordinatenebene" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="8"}}
33 -Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|4){{/formula}} und die Koordinatenebene {{formula}}Z:\ z=0{{/formula}}.
14 +{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="15"}}
15 +Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
34 34  
35 -(%class=abc%)
36 -1. (((
37 -Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Z){{/formula}}.
38 -)))
39 -1. (((
40 -Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
41 -
42 -Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
43 -)))
44 -1. (((
45 -Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}Z{{/formula}} doppelt so groß ist.
46 -)))
47 -{{/aufgabe}}
48 -
49 -{{aufgabe id="Lotfußpunkt auf Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="10"}}
50 -Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
51 -
52 52  {{formula}}
53 -g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
18 +d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
54 54  {{/formula}}
55 55  
56 56  (%class=abc%)
57 57  1. (((
58 -Gib einen allgemeinen Punkt {{formula}}G_r{{/formula}} der Geraden {{formula}}g{{/formula}} in Koordinaten an.
59 -)))
60 -1. (((
61 -Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PG_r}{{/formula}}.
62 -)))
63 -1. (((
64 -Berechne dasjenige {{formula}}r_0{{/formula}}, für das der Vektor {{formula}}\overrightarrow{PG_{r_0}}{{/formula}} senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden {{formula}}g{{/formula}} steht, und erläutere, weshalb dafür gilt: {{formula}}d(P;G_{r_0})=d(P;g){{/formula}}.
65 -)))
66 -{{/aufgabe}}
23 +Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
67 67  
25 +Zeige dazu:
68 68  
69 -{{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer" zeit="30"}}
70 -
71 -**Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
72 -
73 - Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
74 -
75 - Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
76 -
77 -1. Beschreiben Sie in eigenen Worten den für Lösungsmöglichkeit 1 dargestellten Rechenweg.
78 -1. Dokumentieren Sie den Rechenweg zu Lösungsmöglichkeit 2.
79 -1. Erstellen Sie für Lösungsmöglichkeit 3 den Rechenweg und beschreiben Sie die einzelnen Schritte.
80 - 1. Erläutern Sie welche Idee hinter Lösungsweg 4 steckt.
81 -
82 -||Lösungsmöglichkeit 1: Hilfsebene
83 - [[image:Moeglichkeit_1.png||width="250"]]||[[image:Rechenweg_1.png||width="350"]]
84 -||Lösungsmöglichkeit 2: Extremwertaufgabe
85 - [[image:Moeglichkeit_2.png||width="450"]]||Verbindungsvektor {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} in Abhängigkeit
86 -des Parameters {{formula}}t{{/formula}} bilden.
87 -Betrag von {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} bestimmen. Dieser Term
88 -beschreibt den Abstand {{formula}}d{{/formula}} in Abhängigkeit
89 -des Parameters {{formula}}t{{/formula}}.
90 -Das Minimum von {{formula}}d(t){{/formula}} soll bestimmt werden.
91 -Hierzu betrachtet man den Term unter der
92 -Wurzel ({{formula}}f(t){{/formula}}).
93 -Mit Hilfe der Differenzialrechnung das lokale
94 -Minimum von {{formula}}f{{/formula}} berechnen (Da das Schaubild
95 -von {{formula}}f{{/formula}} eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist
96 -dies auch das globale Minimum.
97 -Die Minimumstelle in {{formula}}d(t){{/formula}} einsetzen.
98 -Das Ergebnis ist der gesuchte Abstand.
99 -
100 -||Lösungsmöglichkeit 3: Orthogonalität
101 - [[image:Moeglichkeit_3.png||width="250"]]||
102 -||Lösungsmöglichkeit 4: Höhe eines Parallelogramms
103 - [[image:Moeglichkeit_4.png||width="250"]]||
104 -
105 -
106 -
107 -{{/aufgabe}}
108 -
109 -{{aufgabe id="Abstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="10"}}
110 -Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
111 -
112 112  {{formula}}
113 -g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
28 +\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C)
114 114  {{/formula}}
115 115  
116 -(%class=abc%)
117 -1. (((
118 -Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;g){{/formula}}.
31 +und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
119 119  )))
120 120  1. (((
121 -Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}}, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
34 +Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form
122 122  
123 -Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
124 -)))
125 -1. (((
126 -Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}g{{/formula}} doppelt so groß ist.
127 -)))
128 -{{/aufgabe}}
129 -
130 -{{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="15"}}
131 -Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
132 -
133 133  {{formula}}
134 -d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
37 +d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}.
135 135  {{/formula}}
136 136  
137 -(%class=abc%)
138 -1. (((
139 -Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
40 +Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
140 140  )))
141 141  1. (((
142 -Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
143 -)))
144 -1. (((
145 145  Untersuche die Gleichheitsfälle:
146 146  
147 147  * Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
... ... @@ -150,31 +150,43 @@
150 150  Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
151 151  )))
152 152  1. (((
153 -Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
51 +Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert.
52 +
53 +Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
154 154  )))
155 155  1. (((
156 -Erläutere folgende Aussage geometrisch:
56 +Formuliere eine allgemeine Aussage:
157 157  
158 158  {{formula}}
159 159  M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
160 160  {{/formula}}
61 +
62 +Erläutere diese Aussage geometrisch.
161 161  )))
162 162  {{/aufgabe}}
163 163  
164 -{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="20"}}
66 +{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="20"}}
165 165  Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
166 166  
167 -Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
69 +Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}.
70 +Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade
71 +{{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}}
72 +beschrieben.
73 +Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
168 168  
169 169  (%class=abc%)
170 170  1. (((
171 -Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
77 +Fertige eine räumliche Skizze der Situation an.
78 +Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
79 +
80 +Markiere in deiner Skizze:
172 172  * die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
173 173  * den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
174 174  * eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
175 175  )))
176 176  1. (((
177 -Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
86 +Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}.
87 +Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
178 178  )))
179 179  1. (((
180 180  Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
... ... @@ -186,7 +186,8 @@
186 186  1. (((
187 187  Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
188 188  
189 -Erläutere anhand deiner Ergebnisse, warum die Drohne der Landefläche näher ist als der Begrenzungslinie und dem Punkt A.)))
99 +Überprüfe anhand deiner Ergebnisse die Vermutung aus der Strukturaufgabe und erläutere kurz, wie sich die Lage der Mengen {{formula}}\{A\}{{/formula}}, {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}E{{/formula}} auf die Abstände auswirkt.
100 +)))
190 190  1. (((
191 191  Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
192 192  
... ... @@ -194,119 +194,40 @@
194 194  )))
195 195  {{/aufgabe}}
196 196  
197 -{{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="15"}}
198 -**Hinweis:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
108 +{{aufgabe id="Abstandsprobleme Punkt Gerade Ebene" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau=e zeit="18"}}
109 +Gegeben seien ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}, ein Punkt {{formula}}A{{/formula}}, eine Gerade {{formula}}g{{/formula}} mit {{formula}}A\in g{{/formula}} und eine Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit {{formula}}g\subset E{{/formula}}. Der Punkt {{formula}}P{{/formula}} liege nicht in der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
199 199  
200 -Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
111 +Betrachtet werden die Abstände
201 201  
202 -(%class=abc%)
203 -1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
204 -)))
205 -1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
206 -)))
207 -1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
208 -)))
209 -1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
210 -)))
211 -1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
212 -)))
213 -{{/aufgabe}}
113 +{{formula}}
114 +d(P;A),\quad d(P;g),\quad d(P;E).
115 +{{/formula}}
214 214  
215 -{{aufgabe id="Sonnenegel" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Baden Württemberg: berufliche Gymnasium, Abitur 2023 Teil 4 Vektorgeometrie" niveau="e" zeit="25"}}
216 -Die Punkte {{formula}}A(2|2|4){{/formula}}, {{formula}}B(3|2|2){{/formula}} und {{formula}}C(4|5|3){{/formula}} sind die Eckpunkte eines über dem Boden ({{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene) aufgespannten ebenen Sonnensegels.
217 -Zur Befestigung dient unter anderem ein Pfosten, der sich durch die Strecke {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 4,5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}; 0 \le t \le 1{{/formula}}, beschreiben lässt.
218 -Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
219 219  (%class=abc%)
220 -
221 -1. (((Geben Sie die Länge des Pfosten an.
222 -)))
223 -1. (((Zeigen Sie, dass das Sonnensegel in der Ebene mit der Gleichung {{formula}}2x_1-x_2+x_3=6{{/formula}} liegt.
224 -Bestimmen Sie den Abstand des Sonnensegels zum Boden.
118 +1. (((
119 +Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung.
225 225  )))
226 -1. (((Der Punkt C ist mit einem Seil an dem Pfosten befestigt. Beurteilen Sie, ob ein Seil der Länge 1,85 m dafür ausreichend ist.
227 -)))
228 -{{/aufgabe}}
121 +1. (((
122 +Beschreibe die drei Abstände jeweils als Minimierungsproblem der Form
229 229  
230 -{{aufgabe id="Dreiecksflächen" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Dirk Tebbe, Martin Rathgeb nach BW BG, Abitur 2025 Aufgabe 5 Vektorgeometrie" niveau="e" zeit="15"}}
231 -Gegeben ist die Ebene {{formula}}E: 2x_1 − x_2 + 2x_3 = 4{{/formula}}. Ihre Spurpunkte bilden das Dreieck {{formula}}ABC{{/formula}}.
124 +{{formula}}
125 +d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X\in M\,\}.
126 +{{/formula}}
232 232  
233 -(%class=abc%)
234 -1. Zeige, dass das Dreieck gleichschenklig ist.
235 -1. Berechne den Umfang und die Fläche des Dreiecks.
236 -1. Ermitte die Gleichung einer Geraden, die dieses Dreieck in zwei Teildreiecke mit gleichem Flächeninhalt zerlegt.
237 -{{/aufgabe}}
238 -
239 -{{aufgabe id="Spiegelung an Punkt" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="16"}}
240 -Gegeben sind die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}}, {{formula}}C{{/formula}} sowie ein Punkt {{formula}}S{{/formula}}. Untersuche die Spiegelung von {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}g=g(A;B){{/formula}} und {{formula}}E=\text{E}(A;B;C){{/formula}} an {{formula}}S{{/formula}} unter folgenden Aspekten.
241 -
242 -(%class=abc%)
243 -1. (((
244 -Fertige eine Skizze der Situation an und bezeichne die Spiegelbilder mit {{formula}}A'{{/formula}}, {{formula}}g'{{/formula}} und {{formula}}E'{{/formula}}.
128 +Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
245 245  )))
246 246  1. (((
247 -Beschreibe die Lage der Spiegelbilder. Verwende dafür z.B. die Stichworte: Mittelpunkt, Gerade durch zwei Punkte, Ebene durch drei Punkte, Parallelität.
131 +Beschreibe für {{formula}}d(P;g){{/formula}} und {{formula}}d(P;E){{/formula}} jeweils den Punkt, der den Abstand realisiert.
132 +
133 +Formuliere die zugehörige Orthogonalitätsbedingung.
248 248  )))
249 249  1. (((
250 -Stelle die Spiegelbilder algebraisch dar:
136 +Erläutere allgemein:
251 251  
252 -* Gib eine Darstellung des Punktes {{formula}}A'{{/formula}} an.
253 -* Gib eine Parameterdarstellung von {{formula}}g'{{/formula}} an.
254 -* Gib eine Parameterdarstellung von {{formula}}E'{{/formula}} an.
138 +{{formula}}
139 +M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
140 +{{/formula}}
141 +
142 +Beziehe diese Aussage auf die drei gegebenen Abstände.
255 255  )))
256 256  {{/aufgabe}}
257 -
258 -{{aufgabe id="Punkt mit vorgebenen Abstand bestimmen" afb="II" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Sebastian Schirmer" zeit="5"}}
259 -Gegeben ist die Gerade {{formula}}g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right){{/formula}} mit {{formula}}t \in \mathbb{R}{{/formula}} und der Punkt {{formula}}P (-2|3|1){{/formula}}.
260 -Der Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} beträgt 6 LE.
261 -
262 -Bestimme einen Punkt {{formula}}Q{{/formula}}, der von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} 2 LE entfernt ist.
263 -{{/aufgabe}}
264 -
265 -== Volumina ==
266 -
267 -{{aufgabe id="Quader durch Punkte" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Günther Beikert, Martin Rathgeb, nach IQB e.V. 2015 Teil A: Geometrie 1.1" zeit="20"}}
268 -Gegeben sind die drei Punkte {{formula}}A (2|1|2),\ B (-1|2|0),\ C_t (4t|2t|-5t){{/formula}} mit {{formula}}t>0{{/formula}}.
269 -(%class=abc%)
270 -1. Zeichne die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_1{{/formula}} in ein Koordinatensystem.
271 -1. Zeige, dass die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_t{{/formula}} für jedes {{formula}}t{{/formula}} zusammen mit dem Koordinatenursprung Eckpunkte eines Quaders sind.
272 -1. Zeichne die Punkte {{formula}}A',\ B',\ C_1',\ O'{{/formula}}, die im Quader von Teilaufgabe b den Punkten {{formula}}A,\ B,\ C_1,\ O{{/formula}} gegenüber liegen, in das Koordinatensystem von Teilaufgabe a und berechne ihre Koordinaten.
273 -1. Bestimme für die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_1{{/formula}} das Volumen des Quaders aus Teilaufgabe b.
274 -1. Untersuche, ob es ein {{formula}}t{{/formula}} gibt, sodass der Quader aus Teilaufgabe b das Volumen 15 hat.
275 -{{/aufgabe}}
276 -
277 -
278 -{{aufgabe id="Spiegelung eines Punktes an einer Ebene" afb="I,II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2021MerhoehtAAGLAA211_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
279 -Gegeben sind der Punkt {{formula}}P(-1| 7 | 2){{/formula}} und die Ebene {{formula}}E:\ x_1 + 3x_2 = 0{{/formula}}.
280 -(%class=abc%)
281 -1. Zeige, dass {{formula}}P{{/formula}} nicht in {{formula}}E{{/formula}} liegt.
282 -1. Bestimme die Koordinaten des Punkts, der entsteht, wenn {{formula}}P{{/formula}} an {{formula}}E{{/formula}} gespiegelt
283 -wird.
284 -{{/aufgabe}}
285 -
286 -{{aufgabe id="Spiegelung an einer Ebene" afb="I,II, III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2023MerhoehtAAGLAA222_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
287 -Gegeben sind die Geraden {{formula}} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}r, s \in \mathbb{R}{{/formula}}.
288 -
289 -(%class=abc%)
290 -1. Begründe, dass {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} nicht identisch sind.
291 -1. Die Gerade {{formula}} g {{/formula}} soll durch Spiegelung an einer Ebene auf die Gerade {{formula}} h {{/formula}} abgebildet werden. Bestimme eine Gleichung einer geeigneten Ebene und erläutere dein Vorgehen.
292 -{{/aufgabe}}
293 -
294 -{{aufgabe id="Orthogonalität zur Ebene und Spiegelung" afb="I,II, III" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2025MgrundlegendAAGLAA221_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="g" tags="iqb" cc="BY"}}
295 -Die Ebene {{formula}} E {{/formula}} wird durch die Gleichung {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}r, s \in \mathbb{R} {{/formula}} beschrieben.
296 -
297 -(%class=abc%)
298 -1. Zeige, dass der Vektor {{formula}}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} senkrecht zur Ebene {{formula}} E {{/formula}} steht.
299 -1. Bestimme die Koordinaten eines Punkts {{formula}} P {{/formula}} mit folgender Eigenschaft:
300 -Wird der Punkt {{formula}} P {{/formula}} an der Ebene {{formula}} E {{/formula}} gespiegelt, so hat der entstehende Punkt vom Punkt {{formula}} P {{/formula}} den Abstand 20.
301 -{{/aufgabe}}
302 -
303 -
304 -{{aufgabe id="Volumen von Quadern" afb="I,II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://mathe-arbeitsheft.zsl-bw.de/xwiki/bin/edit/Jahrgangsstufen/BPE_16_6/WebHome]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
305 -[[image:Quader.png||width="120" style="float: right"]]
306 -Die Vektoren {{formula}} \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} {{/formula}}, {{formula}} \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} und {{formula}} \vec{c}_t = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} {{/formula}} spannen für jeden Wert von {{formula}} t \in \mathbb{R} \setminus \{0\} {{/formula}} einen Körper auf. Die Abbildung
307 -zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von {{formula}}t{{/formula}}.
308 -
309 -(%class=abc%)
310 -1. Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
311 -1. Bestimme diejenigen Werte von {{formula}} t {{/formula}}, für die der zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.
312 -{{/aufgabe}}
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