Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -16,7 +16,6 @@
16	16	)))
17	17	1. (((
18	18	Zeichne die Punkte {{formula}}P{{/formula}}, {{formula}}Q{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}.
19		-
20	20	Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
21	21	)))
22	22	1. (((
...	...	@@ -23,8 +23,7 @@
23	23	Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist wie {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
24	24	)))
25	25	1. (((
26		-Ein Mitschüler behauptet: „Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
27		-
	25	+Ein Mitschüler behauptet: „Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r \cdot \overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
28	28	Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie gegebenenfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
29	29	)))
30	30	{{/aufgabe}}
...	...	@@ -74,7 +74,7 @@
74	74	Die folgenden 4 Aufgaben lösen die gleiche Aufgabe mit Hilfe von 4 verschiedenen Lösungsideen.
75	75	{{/lernende}}
76	76
77		-{{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (1 - Hilfsebene)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer, Rüdiger Hölzel" zeit="15"}}
	75	+{{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (1 - Hilfsebene)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer, Rüdiger Hölzel" zeit="10"}}
78	78
79	79	**Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
80	80
...	...	@@ -87,7 +87,7 @@
87	87	[[image:Moeglichkeit_1.png||width="250"]][[image:Rechenweg_1.png||width="350"]]
88	88	{{/aufgabe}}
89	89
90		-{{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (2 - Extremwertaufgabe)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer, Rüdiger Hölzel" zeit="15"}}
	88	+{{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (2 - Extremwertaufgabe)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer, Rüdiger Hölzel" zeit="10"}}
91	91	**Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
92	92
93	93	Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
...	...	@@ -100,7 +100,7 @@
100	100	Verbindungsvektor {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} in Abhängigkeit des Parameters {{formula}}t{{/formula}} bilden. Betrag von {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} bestimmen. Dieser Term beschreibt den Abstand {{formula}}d{{/formula}} in Abhängigkeit des Parameters {{formula}}t{{/formula}}. Das Minimum von {{formula}}d(t){{/formula}} soll bestimmt werden. Hierzu betrachtet man den Term unter der Wurzel ({{formula}}f(t){{/formula}}). Mit Hilfe der Differenzialrechnung das lokale Minimum von {{formula}}f{{/formula}} berechnen (Da das Schaubild von {{formula}}f{{/formula}} eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist dies auch das globale Minimum. Die Minimumstelle in {{formula}}d(t){{/formula}} einsetzen. Das Ergebnis ist der gesuchte Abstand.
101	101	{{/aufgabe}}
102	102
103		-{{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (3 - Orthogonalität)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer, Rüdiger Hölzel" zeit="15"}}
	101	+{{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (3 - Orthogonalität)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer, Rüdiger Hölzel" zeit="10"}}
104	104	**Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
105	105	[[image:Moeglichkeit_3.png||width="250" style="float: right"]]
106	106	Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
...	...	@@ -110,7 +110,7 @@
110	110	Erstellen Sie für die Lösungsmöglichkeit "Orthogonalität" den Rechenweg und beschreiben Sie die einzelnen Schritte.
111	111	{{/aufgabe}}
112	112
113		-{{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (4 - Parallelogramm)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer, Rüdiger Hölzel" zeit="15"}}
	111	+{{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (4 - Parallelogramm)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer, Rüdiger Hölzel" zeit="10"}}
114	114
115	115	**Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
116	116	[[image:Moeglichkeit_4.png||width="250" style="float: right"]]
...	...	@@ -121,7 +121,7 @@
121	121	Erläutern Sie welche Idee hinter dem Lösungsweg "Höhe eines Parallelogramms" steckt.
122	122	{{/aufgabe}}
123	123
124		-{{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (Reflexion)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer, Rüdiger Hölzel" zeit="15"}}
	122	+{{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (Reflexion)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer, Rüdiger Hölzel" zeit="10"}}
125	125
126	126	**Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
127	127
...	...	@@ -192,39 +192,6 @@
192	192	)))
193	193	{{/aufgabe}}
194	194
195		-{{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="20"}}
196		-Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
197		-
198		-Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
199		-
200		-(%class=abc%)
201		-1. (((
202		-Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
203		-* die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
204		-* den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
205		-* eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
206		-)))
207		-1. (((
208		-Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
209		-)))
210		-1. (((
211		-Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
212		-Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
213		-)))
214		-1. (((
215		-Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
216		-)))
217		-1. (((
218		-Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
219		-
220		-Erläutere anhand deiner Ergebnisse, warum die Drohne der Landefläche näher ist als der Begrenzungslinie und dem Punkt A.)))
221		-1. (((
222		-Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
223		-
224		-Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
225		-)))
226		-{{/aufgabe}}
227		-
228	228	{{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="15"}}
229	229	**Hinweis:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
230	230
...	...	@@ -306,7 +306,7 @@
306	306	{{/aufgabe}}
307	307
308	308
309		-{{aufgabe id="Spiegelung eines Punktes an einer Ebene" afb="I,II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2021MerhoehtAAGLAA211_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
	274	+{{aufgabe id="Spiegelung eines Punktes an einer Ebene" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2021MerhoehtAAGLAA211_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
310	310	Gegeben sind der Punkt {{formula}}P(-1| 7 | 2){{/formula}} und die Ebene {{formula}}E:\ x_1 + 3x_2 = 0{{/formula}}.
311	311	(%class=abc%)
312	312	1. Zeige, dass {{formula}}P{{/formula}} nicht in {{formula}}E{{/formula}} liegt.
...	...	@@ -314,7 +314,7 @@
314	314	wird.
315	315	{{/aufgabe}}
316	316
317		-{{aufgabe id="Spiegelung an einer Ebene" afb="I,II, III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2023MerhoehtAAGLAA222_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
	282	+{{aufgabe id="Spiegelung an einer Ebene" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2023MerhoehtAAGLAA222_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
318	318	Gegeben sind die Geraden {{formula}} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}r, s \in \mathbb{R}{{/formula}}.
319	319
320	320	(%class=abc%)
...	...	@@ -322,7 +322,7 @@
322	322	1. Die Gerade {{formula}} g {{/formula}} soll durch Spiegelung an einer Ebene auf die Gerade {{formula}} h {{/formula}} abgebildet werden. Bestimme eine Gleichung einer geeigneten Ebene und erläutere dein Vorgehen.
323	323	{{/aufgabe}}
324	324
325		-{{aufgabe id="Orthogonalität zur Ebene und Spiegelung" afb="I,II, III" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2025MgrundlegendAAGLAA221_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="g" tags="iqb" cc="BY"}}
	290	+{{aufgabe id="Orthogonalität zur Ebene und Spiegelung" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2025MgrundlegendAAGLAA221_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="g" tags="iqb" cc="BY"}}
326	326	Die Ebene {{formula}} E {{/formula}} wird durch die Gleichung {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}r, s \in \mathbb{R} {{/formula}} beschrieben.
327	327
328	328	(%class=abc%)
...	...	@@ -332,7 +332,7 @@
332	332	{{/aufgabe}}
333	333
334	334
335		-{{aufgabe id="Volumen von Quadern" afb="I,II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://mathe-arbeitsheft.zsl-bw.de/xwiki/bin/edit/Jahrgangsstufen/BPE_16_6/WebHome]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
	300	+{{aufgabe id="Volumen von Quadern" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://mathe-arbeitsheft.zsl-bw.de/xwiki/bin/edit/Jahrgangsstufen/BPE_16_6/WebHome]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
336	336	[[image:Quader.png||width="120" style="float: right"]]
337	337	Die Vektoren {{formula}} \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} {{/formula}}, {{formula}} \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} und {{formula}} \vec{c}_t = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} {{/formula}} spannen für jeden Wert von {{formula}} t \in \mathbb{R} \setminus \{0\} {{/formula}} einen Körper auf. Die Abbildung
338	338	zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von {{formula}}t{{/formula}}.
...	...	@@ -341,3 +341,11 @@
341	341	1. Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
342	342	1. Bestimme diejenigen Werte von {{formula}} t {{/formula}}, für die der zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.
343	343	{{/aufgabe}}
	309	+
	310	+{{lehrende}}
	311	+Abdeckung Kompetenzen: K3 ist in BPE 16.7 behandelt.
	312	+Abdeckung AFBs: AFB I ist in den Teilaufgaben enthalten, aber keine/kaum eine Aufgabe bleibt auf AFB I.
	313	+Umfang gemäß Mengengerüst: Der Umfang der Aufgaben übersteigt das Mengengerüst.
	314	+{{/lehrende}}
	315	+
	316	+{{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="4" kriterien="5" menge="3"/}}