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Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

Zuletzt geändert von Rüdger Hölzel am 2026/07/07 15:17
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bearbeitet von Martin Rathgeb
am 2026/05/12 17:43
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bearbeitet von Clemens Baur
am 2026/07/06 16:02
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.martinrathgeb
1 +XWiki.clemensbaur
Inhalt
... ... @@ -65,6 +65,46 @@
65 65  )))
66 66  {{/aufgabe}}
67 67  
68 +
69 +{{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer" zeit="10"}}
70 +
71 +**Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
72 +
73 + Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
74 +
75 + Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
76 +
77 +1. Beschreiben Sie in eigenen Worten den für Lösungsmöglichkeit 1 dargestellen Rechenweg.
78 +1. Dokumentieren Sie den Rechenweg zu Lösungsmöglichkeit 2.
79 +1. Erstellen Sie für Lösungsmöglichkeit 3 den Rechenweg und beschreiben Sie die einzelnen Schritte.
80 + 1. Erläutern Sie welche Idee hinter Lösungsweg 4 steckt.
81 +
82 +||Lösungsmöglichkeit 1: Hilfsebene
83 + [[image:Moeglichkeit_1.png||width="250"]]||[[image:Rechenweg_1.png||width="250"]]
84 +||Lösungsmöglichkeit 2: Extremwertaufgabe
85 + [[image:Moeglichkeit_2.png||width="450"]]||Verbindungsvektor {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} in Abhängigkeit
86 +des Parameters {{formula}}t{{/formula}} bilden.
87 +Betrag von {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} bestimmen. Dieser Term
88 +beschreibt den Abstand {{formula}}d{{/formula}} in Abhängigkeit
89 +des Parameters {{formula}}t{{/formula}}.
90 +Das Minimum von {{formula}}d(t){{/formula}} soll bestimmt werden.
91 +Hierzu betrachtet man den Term unter der
92 +Wurzel ({{formula}}f(t){{/formula}}).
93 +Mit Hilfe der Differenzialrechnung das lokale
94 +Minimum von {{formula}}f{{/formula}} berechnen (Da das Schaubild
95 +von {{formula}}f{{/formula}} eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist
96 +dies auch das globale Minimum.
97 +Die Minimumstelle in {{formula}}d(t){{/formula}} einsetzen.
98 +Das Ergebnis ist der gesuchte Abstand.
99 +
100 +||Lösungsmöglichkeit 3: Orthogonalität
101 + [[image:Moeglichkeit_3.png||width="250"]]|| Lösungsmöglichkeit 4: Höhe eines Parallelogramms
102 + [[image:Moeglichkeit_4.png||width="250"]]
103 +
104 +
105 +
106 +{{/aufgabe}}
107 +
68 68  {{aufgabe id="Abstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="10"}}
69 69  Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
70 70  
... ... @@ -214,9 +214,16 @@
214 214  )))
215 215  {{/aufgabe}}
216 216  
257 +{{aufgabe id="Punkt mit vorgebenen Abstand bestimmen" afb="II" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Sebastian Schirmer" zeit="5"}}
258 +Gegeben ist die Gerade {{formula}}g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right){{/formula}} mit {{formula}}t \in \mathbb{R}{{/formula}} und der Punkt {{formula}}P (-2|3|1){{/formula}}.
259 +Der Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} beträgt 6 LE.
260 +
261 +Bestimme einen Punkt {{formula}}Q{{/formula}}, der von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} 2 LE entfernt ist.
262 +{{/aufgabe}}
263 +
217 217  == Volumina ==
218 218  
219 -{{aufgabe id="Quader durch Vektoren" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="IQB-Abituraufgabe, überarbeitet" zeit="10"}}
266 +{{aufgabe id="Quader durch Punkte" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Günther Beikert, Martin Rathgeb, nach IQB e.V. 2015 Teil A: Geometrie 1.1" zeit="20"}}
220 220  Gegeben sind die drei Punkte {{formula}}A (2|1|2),\ B (-1|2|0),\ C_t (4t|2t|-5t){{/formula}} mit {{formula}}t>0{{/formula}}.
221 221  (%class=abc%)
222 222  1. Zeichne die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_1{{/formula}} in ein Koordinatensystem.
... ... @@ -225,3 +225,40 @@
225 225  1. Bestimme für die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_1{{/formula}} das Volumen des Quaders aus Teilaufgabe b.
226 226  1. Untersuche, ob es ein {{formula}}t{{/formula}} gibt, sodass der Quader aus Teilaufgabe b das Volumen 15 hat.
227 227  {{/aufgabe}}
275 +
276 +
277 +{{aufgabe id="Spiegelung eines Punktes an einer Ebene" afb="I,II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2021MerhoehtAAGLAA211_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
278 +Gegeben sind der Punkt {{formula}}P(-1| 7 | 2){{/formula}} und die Ebene {{formula}}E:\ x_1 + 3x_2 = 0{{/formula}}.
279 +(%class=abc%)
280 +1. Zeige, dass {{formula}}P{{/formula}} nicht in {{formula}}E{{/formula}} liegt.
281 +1. Bestimme die Koordinaten des Punkts, der entsteht, wenn {{formula}}P{{/formula}} an {{formula}}E{{/formula}} gespiegelt
282 +wird.
283 +{{/aufgabe}}
284 +
285 +{{aufgabe id="Spiegelung an einer Ebene" afb="I,II, III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2023MerhoehtAAGLAA222_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
286 +Gegeben sind die Geraden {{formula}} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}r, s \in \mathbb{R}{{/formula}}.
287 +
288 +(%class=abc%)
289 +1. Begründe, dass {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} nicht identisch sind.
290 +1. Die Gerade {{formula}} g {{/formula}} soll durch Spiegelung an einer Ebene auf die Gerade {{formula}} h {{/formula}} abgebildet werden. Bestimme eine Gleichung einer geeigneten Ebene und erläutere dein Vorgehen.
291 +{{/aufgabe}}
292 +
293 +{{aufgabe id="Orthogonalität zur Ebene und Spiegelung" afb="I,II, III" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2025MgrundlegendAAGLAA221_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="g" tags="iqb" cc="BY"}}
294 +Die Ebene {{formula}} E {{/formula}} wird durch die Gleichung {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}r, s \in \mathbb{R} {{/formula}} beschrieben.
295 +
296 +(%class=abc%)
297 +1. Zeige, dass der Vektor {{formula}}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} senkrecht zur Ebene {{formula}} E {{/formula}} steht.
298 +1. Bestimme die Koordinaten eines Punkts {{formula}} P {{/formula}} mit folgender Eigenschaft:
299 +Wird der Punkt {{formula}} P {{/formula}} an der Ebene {{formula}} E {{/formula}} gespiegelt, so hat der entstehende Punkt vom Punkt {{formula}} P {{/formula}} den Abstand 20.
300 +{{/aufgabe}}
301 +
302 +
303 +{{aufgabe id="Volumen von Quadern" afb="I,II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://mathe-arbeitsheft.zsl-bw.de/xwiki/bin/edit/Jahrgangsstufen/BPE_16_6/WebHome]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
304 +[[image:Quader.png||width="120" style="float: right"]]
305 +Die Vektoren {{formula}} \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} {{/formula}}, {{formula}} \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} und {{formula}} \vec{c}_t = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} {{/formula}} spannen für jeden Wert von {{formula}} t \in \mathbb{R} \setminus \{0\} {{/formula}} einen Körper auf. Die Abbildung
306 +zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von {{formula}}t{{/formula}}.
307 +
308 +(%class=abc%)
309 +1. Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
310 +1. Bestimme diejenigen Werte von {{formula}} t {{/formula}}, für die der zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.
311 +{{/aufgabe}}
Moeglichkeit_1.png
Author
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Moeglichkeit_2.png
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Moeglichkeit_4.png
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1 +XWiki.clemensbaur
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