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Änderungen von Dokument BPE 16.6 Abstände und Volumina

Zuletzt geändert von Rüdger Hölzel am 2026/07/07 15:17
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am 2026/07/06 16:44
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Übergeordnete Seite
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Dokument-Autor
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1 -XWiki.sebastianschirmer
1 +XWiki.holgerengels
Inhalt
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1 1  {{seiteninhalt/}}
2 2  
3 3  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen.
4 -[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen. {{niveau}}e{{/niveau}}
4 +[[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen.
5 5  [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum (Quader, Pyramide mit Grundfläche in Koordinatenebene) berechnen.
6 -[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum (Quader, Pyramide) berechnen. {{niveau}}e{{/niveau}}
6 +[[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum (Quader, Pyramide) berechnen.
7 7  
8 8  == Abstände ==
9 9  
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65 65  )))
66 66  {{/aufgabe}}
67 67  
68 +
69 +{{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer" zeit="30"}}
70 +
71 +**Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
72 +
73 + Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
74 +
75 + Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
76 +
77 +1. Beschreiben Sie in eigenen Worten den für Lösungsmöglichkeit 1 dargestellten Rechenweg.
78 +1. Dokumentieren Sie den Rechenweg zu Lösungsmöglichkeit 2.
79 +1. Erstellen Sie für Lösungsmöglichkeit 3 den Rechenweg und beschreiben Sie die einzelnen Schritte.
80 + 1. Erläutern Sie welche Idee hinter Lösungsweg 4 steckt.
81 +
82 +||Lösungsmöglichkeit 1: Hilfsebene
83 + [[image:Moeglichkeit_1.png||width="250"]]||[[image:Rechenweg_1.png||width="350"]]
84 +||Lösungsmöglichkeit 2: Extremwertaufgabe
85 + [[image:Moeglichkeit_2.png||width="450"]]||Verbindungsvektor {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} in Abhängigkeit
86 +des Parameters {{formula}}t{{/formula}} bilden.
87 +Betrag von {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} bestimmen. Dieser Term
88 +beschreibt den Abstand {{formula}}d{{/formula}} in Abhängigkeit
89 +des Parameters {{formula}}t{{/formula}}.
90 +Das Minimum von {{formula}}d(t){{/formula}} soll bestimmt werden.
91 +Hierzu betrachtet man den Term unter der
92 +Wurzel ({{formula}}f(t){{/formula}}).
93 +Mit Hilfe der Differenzialrechnung das lokale
94 +Minimum von {{formula}}f{{/formula}} berechnen (Da das Schaubild
95 +von {{formula}}f{{/formula}} eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist
96 +dies auch das globale Minimum.
97 +Die Minimumstelle in {{formula}}d(t){{/formula}} einsetzen.
98 +Das Ergebnis ist der gesuchte Abstand.
99 +
100 +||Lösungsmöglichkeit 3: Orthogonalität
101 + [[image:Moeglichkeit_3.png||width="250"]]||
102 +||Lösungsmöglichkeit 4: Höhe eines Parallelogramms
103 + [[image:Moeglichkeit_4.png||width="250"]]||
104 +
105 +
106 +
107 +{{/aufgabe}}
108 +
68 68  {{aufgabe id="Abstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="10"}}
69 69  Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
70 70  
Moeglichkeit_1.png
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Inhalt
Rechenweg_1.png
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