Zum Inhalt springen
Version 112.1 von Rüdger Hölzel am 2026/07/07 09:57
Verstecke letzte Bearbeiter
Holger Engels 1.1 1 {{seiteninhalt/}}
2
Martina Wagner 66.1 3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen.
Holger Engels 109.1 4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen.
Martina Wagner 66.1 5 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum (Quader, Pyramide mit Grundfläche in Koordinatenebene) berechnen.
Holger Engels 109.1 6 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum (Quader, Pyramide) berechnen.
Anna Kukin 2.1 7
Martin Rathgeb 69.1 8 == Abstände ==
9
Martina Wagner 65.1 10 {{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" zeit="10"}}
Martin Rathgeb 33.1 11 Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
Martin Rathgeb 32.1 12
13 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 39.1 14 1. (((
15 Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
Martin Rathgeb 33.1 16 )))
Martin Rathgeb 39.1 17 1. (((
18 Zeichne die Punkte {{formula}}P{{/formula}}, {{formula}}Q{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}.
19
20 Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
Martin Rathgeb 33.1 21 )))
Martin Rathgeb 39.1 22 1. (((
23 Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist wie {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
24 )))
25 1. (((
Martin Rathgeb 44.1 26 Ein Mitschüler behauptet: „Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
Martin Rathgeb 33.1 27
Martin Rathgeb 39.1 28 Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie gegebenenfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
Martin Rathgeb 33.1 29 )))
Martin Rathgeb 31.1 30 {{/aufgabe}}
31
Martina Wagner 65.1 32 {{aufgabe id="Abstand Punkt Koordinatenebene" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="8"}}
Martin Rathgeb 46.1 33 Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|4){{/formula}} und die Koordinatenebene {{formula}}Z:\ z=0{{/formula}}.
Martin Rathgeb 38.1 34
35 (%class=abc%)
36 1. (((
Martin Rathgeb 39.1 37 Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Z){{/formula}}.
Martin Rathgeb 38.1 38 )))
39 1. (((
Martin Rathgeb 39.1 40 Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
Martin Rathgeb 38.1 41
Martin Rathgeb 39.1 42 Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
Martin Rathgeb 38.1 43 )))
44 1. (((
Martin Rathgeb 39.1 45 Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}Z{{/formula}} doppelt so groß ist.
Martin Rathgeb 38.1 46 )))
47 {{/aufgabe}}
48
Martina Wagner 65.1 49 {{aufgabe id="Lotfußpunkt auf Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="10"}}
Martin Rathgeb 41.1 50 Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
51
52 {{formula}}
Martin Rathgeb 42.1 53 g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
Martin Rathgeb 41.1 54 {{/formula}}
55
56 (%class=abc%)
57 1. (((
Martin Rathgeb 42.1 58 Gib einen allgemeinen Punkt {{formula}}G_r{{/formula}} der Geraden {{formula}}g{{/formula}} in Koordinaten an.
Martin Rathgeb 41.1 59 )))
60 1. (((
Martin Rathgeb 42.1 61 Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PG_r}{{/formula}}.
Martin Rathgeb 41.1 62 )))
63 1. (((
Martin Rathgeb 49.1 64 Berechne dasjenige {{formula}}r_0{{/formula}}, für das der Vektor {{formula}}\overrightarrow{PG_{r_0}}{{/formula}} senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden {{formula}}g{{/formula}} steht, und erläutere, weshalb dafür gilt: {{formula}}d(P;G_{r_0})=d(P;g){{/formula}}.
Martin Rathgeb 41.1 65 )))
66 {{/aufgabe}}
67
Ansgar Wasmer-Rehberg 91.1 68
Rüdger Hölzel 110.1 69 {{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (1)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer" zeit="30"}}
Clemens Baur 97.1 70
71 **Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
72
Clemens Baur 92.1 73 Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
Ansgar Wasmer-Rehberg 91.1 74
Clemens Baur 92.1 75 Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
Clemens Baur 97.1 76
Rüdger Hölzel 110.1 77 Beschreiben Sie in eigenen Worten den für Lösungsmöglichkeit 1 dargestellten Rechenweg.
Clemens Baur 92.1 78
Rüdger Hölzel 111.1 79 Lösungsmöglichkeit 1: Hilfsebene
Rüdger Hölzel 112.1 80 [[image:Moeglichkeit_1.png||width="250"]] || [[image:Rechenweg_1.png||width="350"]]
81 {{/aufgabe}}
Rüdger Hölzel 110.1 82
83
Rüdger Hölzel 111.1 84 {{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (2)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer" zeit="30"}}
Rüdger Hölzel 110.1 85
86 **Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
87
88 Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
89
90 Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
91
92 Dokumentieren Sie den Rechenweg zu Lösungsmöglichkeit 2.
93
Clemens Baur 99.1 94 ||Lösungsmöglichkeit 2: Extremwertaufgabe
Clemens Baur 101.2 95 [[image:Moeglichkeit_2.png||width="450"]]||Verbindungsvektor {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} in Abhängigkeit
96 des Parameters {{formula}}t{{/formula}} bilden.
97 Betrag von {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} bestimmen. Dieser Term
98 beschreibt den Abstand {{formula}}d{{/formula}} in Abhängigkeit
99 des Parameters {{formula}}t{{/formula}}.
100 Das Minimum von {{formula}}d(t){{/formula}} soll bestimmt werden.
101 Hierzu betrachtet man den Term unter der
102 Wurzel ({{formula}}f(t){{/formula}}).
103 Mit Hilfe der Differenzialrechnung das lokale
104 Minimum von {{formula}}f{{/formula}} berechnen (Da das Schaubild
105 von {{formula}}f{{/formula}} eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist
106 dies auch das globale Minimum.
107 Die Minimumstelle in {{formula}}d(t){{/formula}} einsetzen.
108 Das Ergebnis ist der gesuchte Abstand.
Rüdger Hölzel 112.1 109 {{/aufgabe}}
Rüdger Hölzel 110.1 110
111
112
Rüdger Hölzel 111.1 113 {{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (3)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer" zeit="30"}}
Rüdger Hölzel 110.1 114
115 **Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
116
117 Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
118
119 Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
120
121 Erstellen Sie für Lösungsmöglichkeit 3 den Rechenweg und beschreiben Sie die einzelnen Schritte.
122
Clemens Baur 97.1 123 ||Lösungsmöglichkeit 3: Orthogonalität
Clemens Baur 106.1 124 [[image:Moeglichkeit_3.png||width="250"]]||
Rüdger Hölzel 112.1 125 {{/aufgabe}}
Rüdger Hölzel 110.1 126
127
128
Rüdger Hölzel 111.1 129 {{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (4)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer" zeit="30"}}
Rüdger Hölzel 110.1 130
131 **Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
132
133 Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
134
135 Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
136
137 Erläutern Sie welche Idee hinter Lösungsweg 4 steckt.
138
139
Clemens Baur 106.1 140 ||Lösungsmöglichkeit 4: Höhe eines Parallelogramms
141 [[image:Moeglichkeit_4.png||width="250"]]||
Rüdger Hölzel 112.1 142 {{/aufgabe}}
Rüdger Hölzel 110.1 143
144
145
Rüdger Hölzel 111.1 146 {{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (ges.)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer" zeit="30"}}
Rüdger Hölzel 110.1 147
148 **Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
Clemens Baur 92.1 149
Rüdger Hölzel 110.1 150 Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
151
152 Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
Clemens Baur 92.1 153
Rüdger Hölzel 110.1 154 Vergleiche die obigen 4 Lösungsmöglichkeiten und erläutere die Unterschiede (Vor- und Nachteile) der jeweiligen Lösungsideen.
155
156 ||Lösungsmöglichkeit 1: Hilfsebene ||Lösungsmöglichkeit 2: Extremwertaufgabe
157 [[image:Moeglichkeit_1.png||width="250"]]||[[image:Moeglichkeit_2.png||width="250"]]
158 ||Lösungsmöglichkeit 3: Orthogonalität ||Lösungsmöglichkeit 4: Höhe eines Parallelogramms
159 [[image:Moeglichkeit_3.png||width="250"]]|| [[image:Moeglichkeit_4.png||width="250"]]||
Ansgar Wasmer-Rehberg 91.1 160 {{/aufgabe}}
161
Rüdger Hölzel 112.1 162
163
Martina Wagner 65.1 164 {{aufgabe id="Abstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="10"}}
Martin Rathgeb 39.1 165 Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
166
167 {{formula}}
168 g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
169 {{/formula}}
170
171 (%class=abc%)
172 1. (((
173 Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;g){{/formula}}.
174 )))
175 1. (((
176 Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}}, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
177
178 Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
179 )))
180 1. (((
181 Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}g{{/formula}} doppelt so groß ist.
182 )))
183 {{/aufgabe}}
184
Martin Rathgeb 70.1 185 {{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="15"}}
Martin Rathgeb 14.1 186 Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
Martin Rathgeb 10.1 187
Martin Rathgeb 11.1 188 {{formula}}
189 d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
190 {{/formula}}
191
Martin Rathgeb 10.1 192 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 11.1 193 1. (((
Martin Rathgeb 25.1 194 Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
Martin Rathgeb 10.1 195 )))
Martin Rathgeb 11.1 196 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 197 Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
Martin Rathgeb 10.1 198 )))
Martin Rathgeb 11.1 199 1. (((
200 Untersuche die Gleichheitsfälle:
201
202 * Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
203 * Wann gilt {{formula}}d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C)){{/formula}}?
204
Martin Rathgeb 10.1 205 Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
206 )))
Martin Rathgeb 11.1 207 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 208 Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
Martin Rathgeb 11.1 209 )))
210 1. (((
Martin Rathgeb 23.1 211 Erläutere folgende Aussage geometrisch:
Martin Rathgeb 11.1 212
Martin Rathgeb 10.1 213 {{formula}}
214 M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
215 {{/formula}}
Martin Rathgeb 11.1 216 )))
Martin Rathgeb 10.1 217 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 13.1 218
Martin Rathgeb 70.1 219 {{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="20"}}
Martin Rathgeb 13.1 220 Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
221
Martin Rathgeb 64.1 222 Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
Martin Rathgeb 13.1 223
224 (%class=abc%)
225 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 226 Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
Martin Rathgeb 13.1 227 * die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
228 * den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
229 * eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
230 )))
231 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 232 Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
Martin Rathgeb 13.1 233 )))
234 1. (((
235 Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
236 Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
237 )))
238 1. (((
239 Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
240 )))
241 1. (((
242 Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
243
Martin Rathgeb 19.1 244 Erläutere anhand deiner Ergebnisse, warum die Drohne der Landefläche näher ist als der Begrenzungslinie und dem Punkt A.)))
Martin Rathgeb 13.1 245 1. (((
246 Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
247
248 Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
249 )))
250 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 14.1 251
Martin Rathgeb 70.1 252 {{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="15"}}
Martin Rathgeb 21.1 253 **Hinweis:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
Martin Rathgeb 16.1 254
Martin Rathgeb 19.1 255 Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
Martin Rathgeb 16.1 256
257 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 28.1 258 1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
Martin Rathgeb 16.1 259 )))
Martin Rathgeb 21.1 260 1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
Martin Rathgeb 16.1 261 )))
Martin Rathgeb 28.1 262 1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
Martin Rathgeb 16.1 263 )))
Martin Rathgeb 29.1 264 1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
Martin Rathgeb 16.1 265 )))
Martin Rathgeb 28.1 266 1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
Martin Rathgeb 16.1 267 )))
268 {{/aufgabe}}
Dirk Tebbe 38.2 269
Martin Rathgeb 70.1 270 {{aufgabe id="Sonnenegel" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Baden Württemberg: berufliche Gymnasium, Abitur 2023 Teil 4 Vektorgeometrie" niveau="e" zeit="25"}}
Dirk Tebbe 39.3 271 Die Punkte {{formula}}A(2|2|4){{/formula}}, {{formula}}B(3|2|2){{/formula}} und {{formula}}C(4|5|3){{/formula}} sind die Eckpunkte eines über dem Boden ({{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene) aufgespannten ebenen Sonnensegels.
272 Zur Befestigung dient unter anderem ein Pfosten, der sich durch die Strecke {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 4,5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}; 0 \le t \le 1{{/formula}}, beschreiben lässt.
273 Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
274 (%class=abc%)
Dirk Tebbe 38.2 275
Dirk Tebbe 39.3 276 1. (((Geben Sie die Länge des Pfosten an.
277 )))
278 1. (((Zeigen Sie, dass das Sonnensegel in der Ebene mit der Gleichung {{formula}}2x_1-x_2+x_3=6{{/formula}} liegt.
Dirk Tebbe 40.1 279 Bestimmen Sie den Abstand des Sonnensegels zum Boden.
Dirk Tebbe 39.3 280 )))
281 1. (((Der Punkt C ist mit einem Seil an dem Pfosten befestigt. Beurteilen Sie, ob ein Seil der Länge 1,85 m dafür ausreichend ist.
282 )))
283 {{/aufgabe}}
Dirk Tebbe 38.2 284
Martin Rathgeb 70.1 285 {{aufgabe id="Dreiecksflächen" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Dirk Tebbe, Martin Rathgeb nach BW BG, Abitur 2025 Aufgabe 5 Vektorgeometrie" niveau="e" zeit="15"}}
Martin Rathgeb 56.1 286 Gegeben ist die Ebene {{formula}}E: 2x_1 − x_2 + 2x_3 = 4{{/formula}}. Ihre Spurpunkte bilden das Dreieck {{formula}}ABC{{/formula}}.
287
288 (%class=abc%)
289 1. Zeige, dass das Dreieck gleichschenklig ist.
Dirk Tebbe 56.2 290 1. Berechne den Umfang und die Fläche des Dreiecks.
Martin Rathgeb 56.1 291 1. Ermitte die Gleichung einer Geraden, die dieses Dreieck in zwei Teildreiecke mit gleichem Flächeninhalt zerlegt.
Martin Rathgeb 55.1 292 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 51.1 293
Martin Rathgeb 70.1 294 {{aufgabe id="Spiegelung an Punkt" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="16"}}
Martin Rathgeb 60.1 295 Gegeben sind die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}}, {{formula}}C{{/formula}} sowie ein Punkt {{formula}}S{{/formula}}. Untersuche die Spiegelung von {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}g=g(A;B){{/formula}} und {{formula}}E=\text{E}(A;B;C){{/formula}} an {{formula}}S{{/formula}} unter folgenden Aspekten.
Martin Rathgeb 55.1 296
Martin Rathgeb 51.1 297 (%class=abc%)
298 1. (((
Martin Rathgeb 58.1 299 Fertige eine Skizze der Situation an und bezeichne die Spiegelbilder mit {{formula}}A'{{/formula}}, {{formula}}g'{{/formula}} und {{formula}}E'{{/formula}}.
300 )))
301 1. (((
Martin Rathgeb 60.1 302 Beschreibe die Lage der Spiegelbilder. Verwende dafür z.B. die Stichworte: Mittelpunkt, Gerade durch zwei Punkte, Ebene durch drei Punkte, Parallelität.
Martin Rathgeb 51.1 303 )))
304 1. (((
Martin Rathgeb 58.1 305 Stelle die Spiegelbilder algebraisch dar:
Martin Rathgeb 55.1 306
Martin Rathgeb 61.1 307 * Gib eine Darstellung des Punktes {{formula}}A'{{/formula}} an.
Martin Rathgeb 58.1 308 * Gib eine Parameterdarstellung von {{formula}}g'{{/formula}} an.
309 * Gib eine Parameterdarstellung von {{formula}}E'{{/formula}} an.
Martin Rathgeb 51.1 310 )))
311 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 68.1 312
Sebastian Schirmer 89.1 313 {{aufgabe id="Punkt mit vorgebenen Abstand bestimmen" afb="II" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Sebastian Schirmer" zeit="5"}}
Sebastian Schirmer 89.2 314 Gegeben ist die Gerade {{formula}}g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right){{/formula}} mit {{formula}}t \in \mathbb{R}{{/formula}} und der Punkt {{formula}}P (-2|3|1){{/formula}}.
Sebastian Schirmer 89.1 315 Der Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} beträgt 6 LE.
316
317 Bestimme einen Punkt {{formula}}Q{{/formula}}, der von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} 2 LE entfernt ist.
318 {{/aufgabe}}
319
Martin Rathgeb 69.1 320 == Volumina ==
321
Martin Rathgeb 79.1 322 {{aufgabe id="Quader durch Punkte" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Günther Beikert, Martin Rathgeb, nach IQB e.V. 2015 Teil A: Geometrie 1.1" zeit="20"}}
Martin Rathgeb 74.1 323 Gegeben sind die drei Punkte {{formula}}A (2|1|2),\ B (-1|2|0),\ C_t (4t|2t|-5t){{/formula}} mit {{formula}}t>0{{/formula}}.
Martin Rathgeb 68.1 324 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 74.1 325 1. Zeichne die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_1{{/formula}} in ein Koordinatensystem.
326 1. Zeige, dass die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_t{{/formula}} für jedes {{formula}}t{{/formula}} zusammen mit dem Koordinatenursprung Eckpunkte eines Quaders sind.
Martin Rathgeb 75.1 327 1. Zeichne die Punkte {{formula}}A',\ B',\ C_1',\ O'{{/formula}}, die im Quader von Teilaufgabe b den Punkten {{formula}}A,\ B,\ C_1,\ O{{/formula}} gegenüber liegen, in das Koordinatensystem von Teilaufgabe a und berechne ihre Koordinaten.
Martin Rathgeb 74.1 328 1. Bestimme für die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_1{{/formula}} das Volumen des Quaders aus Teilaufgabe b.
329 1. Untersuche, ob es ein {{formula}}t{{/formula}} gibt, sodass der Quader aus Teilaufgabe b das Volumen 15 hat.
Martin Rathgeb 68.1 330 {{/aufgabe}}
Sebastian Schirmer 80.1 331
332
Anna Kukin 82.2 333 {{aufgabe id="Spiegelung eines Punktes an einer Ebene" afb="I,II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2021MerhoehtAAGLAA211_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
Anna Kukin 81.1 334 Gegeben sind der Punkt {{formula}}P(-1| 7 | 2){{/formula}} und die Ebene {{formula}}E:\ x_1 + 3x_2 = 0{{/formula}}.
335 (%class=abc%)
336 1. Zeige, dass {{formula}}P{{/formula}} nicht in {{formula}}E{{/formula}} liegt.
337 1. Bestimme die Koordinaten des Punkts, der entsteht, wenn {{formula}}P{{/formula}} an {{formula}}E{{/formula}} gespiegelt
338 wird.
339 {{/aufgabe}}
Anna Kukin 83.1 340
Anna Kukin 84.1 341 {{aufgabe id="Spiegelung an einer Ebene" afb="I,II, III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2023MerhoehtAAGLAA222_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
Anna Kukin 83.1 342 Gegeben sind die Geraden {{formula}} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}r, s \in \mathbb{R}{{/formula}}.
343
344 (%class=abc%)
345 1. Begründe, dass {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} nicht identisch sind.
346 1. Die Gerade {{formula}} g {{/formula}} soll durch Spiegelung an einer Ebene auf die Gerade {{formula}} h {{/formula}} abgebildet werden. Bestimme eine Gleichung einer geeigneten Ebene und erläutere dein Vorgehen.
347 {{/aufgabe}}
Anna Kukin 85.1 348
Anna Kukin 85.2 349 {{aufgabe id="Orthogonalität zur Ebene und Spiegelung" afb="I,II, III" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2025MgrundlegendAAGLAA221_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="g" tags="iqb" cc="BY"}}
Anna Kukin 85.1 350 Die Ebene {{formula}} E {{/formula}} wird durch die Gleichung {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}r, s \in \mathbb{R} {{/formula}} beschrieben.
351
352 (%class=abc%)
353 1. Zeige, dass der Vektor {{formula}}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} senkrecht zur Ebene {{formula}} E {{/formula}} steht.
354 1. Bestimme die Koordinaten eines Punkts {{formula}} P {{/formula}} mit folgender Eigenschaft:
355 Wird der Punkt {{formula}} P {{/formula}} an der Ebene {{formula}} E {{/formula}} gespiegelt, so hat der entstehende Punkt vom Punkt {{formula}} P {{/formula}} den Abstand 20.
356 {{/aufgabe}}
Anna Kukin 87.1 357
358
359 {{aufgabe id="Volumen von Quadern" afb="I,II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://mathe-arbeitsheft.zsl-bw.de/xwiki/bin/edit/Jahrgangsstufen/BPE_16_6/WebHome]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
360 [[image:Quader.png||width="120" style="float: right"]]
361 Die Vektoren {{formula}} \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} {{/formula}}, {{formula}} \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} und {{formula}} \vec{c}_t = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} {{/formula}} spannen für jeden Wert von {{formula}} t \in \mathbb{R} \setminus \{0\} {{/formula}} einen Körper auf. Die Abbildung
362 zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von {{formula}}t{{/formula}}.
363
364 (%class=abc%)
365 1. Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
366 1. Bestimme diejenigen Werte von {{formula}} t {{/formula}}, für die der zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.
367 {{/aufgabe}}