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Version 114.1 von Rüdger Hölzel am 2026/07/07 10:07
Verstecke letzte Bearbeiter
Holger Engels 1.1 1 {{seiteninhalt/}}
2
Martina Wagner 66.1 3 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt, Punkt und Koordinatenebene, Punkt und Gerade) bestimmen.
Holger Engels 109.1 4 [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Abstände (Punkt und Punkt/Gerade/Ebene, parallele Geraden, Gerade und Ebene, parallele Ebenen) bestimmen.
Martina Wagner 66.1 5 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum (Quader, Pyramide mit Grundfläche in Koordinatenebene) berechnen.
Holger Engels 109.1 6 [[Kompetenzen.K5]] [[Kompetenzen.K4]] Ich kann Volumen von elementaren geometrischen Objekten im Raum (Quader, Pyramide) berechnen.
Anna Kukin 2.1 7
Martin Rathgeb 69.1 8 == Abstände ==
9
Martina Wagner 65.1 10 {{aufgabe id="Abstand Punkt Punkt" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Stern, Dirk Tebbe, Martin Rathgeb" zeit="10"}}
Martin Rathgeb 33.1 11 Gegeben sind die Punkte {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und {{formula}}Q(1|5|3){{/formula}}.
Martin Rathgeb 32.1 12
13 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 39.1 14 1. (((
15 Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PQ}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
Martin Rathgeb 33.1 16 )))
Martin Rathgeb 39.1 17 1. (((
18 Zeichne die Punkte {{formula}}P{{/formula}}, {{formula}}Q{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}Q{{/formula}}.
19
20 Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
Martin Rathgeb 33.1 21 )))
Martin Rathgeb 39.1 22 1. (((
23 Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}P{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}Q{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}P{{/formula}} doppelt so groß ist wie {{formula}}d(P;Q){{/formula}}.
24 )))
25 1. (((
Martin Rathgeb 44.1 26 Ein Mitschüler behauptet: „Für den Punkt {{formula}}K{{/formula}} mit {{formula}}\overrightarrow{OK}=\overrightarrow{OP}+r\,\overrightarrow{PQ}{{/formula}} gilt {{formula}}d(P;K)=r\cdot d(P;Q){{/formula}}.“
Martin Rathgeb 33.1 27
Martin Rathgeb 39.1 28 Nimm Stellung zu dieser Aussage und korrigiere sie gegebenenfalls. Untersuche dazu den Fall {{formula}}r=-2{{/formula}}: Bestimme {{formula}}K{{/formula}}, den Vektor {{formula}}\overrightarrow{PK}{{/formula}} und den Abstand {{formula}}d(P;K){{/formula}}.
Martin Rathgeb 33.1 29 )))
Martin Rathgeb 31.1 30 {{/aufgabe}}
31
Martina Wagner 65.1 32 {{aufgabe id="Abstand Punkt Koordinatenebene" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="8"}}
Martin Rathgeb 46.1 33 Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|4){{/formula}} und die Koordinatenebene {{formula}}Z:\ z=0{{/formula}}.
Martin Rathgeb 38.1 34
35 (%class=abc%)
36 1. (((
Martin Rathgeb 39.1 37 Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;Z){{/formula}}.
Martin Rathgeb 38.1 38 )))
39 1. (((
Martin Rathgeb 39.1 40 Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
Martin Rathgeb 38.1 41
Martin Rathgeb 39.1 42 Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
Martin Rathgeb 38.1 43 )))
44 1. (((
Martin Rathgeb 39.1 45 Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}Z{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}Z{{/formula}} doppelt so groß ist.
Martin Rathgeb 38.1 46 )))
47 {{/aufgabe}}
48
Martina Wagner 65.1 49 {{aufgabe id="Lotfußpunkt auf Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="10"}}
Martin Rathgeb 41.1 50 Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
51
52 {{formula}}
Martin Rathgeb 42.1 53 g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
Martin Rathgeb 41.1 54 {{/formula}}
55
56 (%class=abc%)
57 1. (((
Martin Rathgeb 42.1 58 Gib einen allgemeinen Punkt {{formula}}G_r{{/formula}} der Geraden {{formula}}g{{/formula}} in Koordinaten an.
Martin Rathgeb 41.1 59 )))
60 1. (((
Martin Rathgeb 42.1 61 Bestimme den Verbindungsvektor {{formula}}\overrightarrow{PG_r}{{/formula}}.
Martin Rathgeb 41.1 62 )))
63 1. (((
Martin Rathgeb 49.1 64 Berechne dasjenige {{formula}}r_0{{/formula}}, für das der Vektor {{formula}}\overrightarrow{PG_{r_0}}{{/formula}} senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden {{formula}}g{{/formula}} steht, und erläutere, weshalb dafür gilt: {{formula}}d(P;G_{r_0})=d(P;g){{/formula}}.
Martin Rathgeb 41.1 65 )))
66 {{/aufgabe}}
67
Rüdger Hölzel 110.1 68 {{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (1)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer" zeit="30"}}
Clemens Baur 97.1 69
70 **Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
Rüdger Hölzel 114.1 71
72 Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
73
74 Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
75
Rüdger Hölzel 110.1 76 Beschreiben Sie in eigenen Worten den für Lösungsmöglichkeit 1 dargestellten Rechenweg.
Clemens Baur 92.1 77
Rüdger Hölzel 114.1 78 Hilfsebene
79 |[[image:Moeglichkeit_1.png||width="250"]]|[[image:Rechenweg_1.png||width="350"]]
Rüdger Hölzel 112.1 80 {{/aufgabe}}
Rüdger Hölzel 114.1 81
Rüdger Hölzel 111.1 82 {{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (2)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer" zeit="30"}}
Rüdger Hölzel 110.1 83 **Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
84
Rüdger Hölzel 114.1 85 Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
86
87 Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
88
Rüdger Hölzel 110.1 89 Dokumentieren Sie den Rechenweg zu Lösungsmöglichkeit 2.
90
Rüdger Hölzel 114.1 91 Extremwertaufgabe
92 [[image:Moeglichkeit_2.png||width="450"]]||Verbindungsvektor {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} in Abhängigkeit
Clemens Baur 101.2 93 des Parameters {{formula}}t{{/formula}} bilden.
94 Betrag von {{formula}}\vec{PQ}{{/formula}} bestimmen. Dieser Term
95 beschreibt den Abstand {{formula}}d{{/formula}} in Abhängigkeit
96 des Parameters {{formula}}t{{/formula}}.
97 Das Minimum von {{formula}}d(t){{/formula}} soll bestimmt werden.
98 Hierzu betrachtet man den Term unter der
99 Wurzel ({{formula}}f(t){{/formula}}).
100 Mit Hilfe der Differenzialrechnung das lokale
101 Minimum von {{formula}}f{{/formula}} berechnen (Da das Schaubild
102 von {{formula}}f{{/formula}} eine nach oben geöffnete Parabel ist, ist
103 dies auch das globale Minimum.
104 Die Minimumstelle in {{formula}}d(t){{/formula}} einsetzen.
105 Das Ergebnis ist der gesuchte Abstand.
Rüdger Hölzel 114.1 106 {{/aufgabe}}
107
Rüdger Hölzel 111.1 108 {{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (3)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer" zeit="30"}}
Rüdger Hölzel 110.1 109 **Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
110
111 Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
112
113 Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
114
115 Erstellen Sie für Lösungsmöglichkeit 3 den Rechenweg und beschreiben Sie die einzelnen Schritte.
116
Clemens Baur 97.1 117 ||Lösungsmöglichkeit 3: Orthogonalität
Clemens Baur 106.1 118 [[image:Moeglichkeit_3.png||width="250"]]||
Rüdger Hölzel 112.1 119 {{/aufgabe}}
Rüdger Hölzel 114.1 120
Rüdger Hölzel 111.1 121 {{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (4)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer" zeit="30"}}
Rüdger Hölzel 110.1 122
123 **Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
124
125 Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
126
127 Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
128
129 Erläutern Sie welche Idee hinter Lösungsweg 4 steckt.
130
131
Clemens Baur 106.1 132 ||Lösungsmöglichkeit 4: Höhe eines Parallelogramms
133 [[image:Moeglichkeit_4.png||width="250"]]||
Rüdger Hölzel 114.1 134 {{/aufgabe}}
135
Rüdger Hölzel 111.1 136 {{aufgabe id="Mindestabstand Punkt Gerade (ges.)" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Clemens Baur, Ansgar Wasmer" zeit="30"}}
Rüdger Hölzel 110.1 137
138 **Problem**: Gegeben sind eine Gerade {{formula}}g: \vec {x} = \vec{q}+t\cdot \vec {u}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und ein Punkt {{formula}}P{{/formula}}.
Clemens Baur 92.1 139
Rüdger Hölzel 110.1 140 Welcher Mindestabstand hat dieser Punkt von der Geraden?
141
142 Beispiel: {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}-5\\5\\6\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}-3\\1\\4\end{pmatrix}; t \in \mathbb{R}{{/formula}} und {{formula}}P(5|3|1){{/formula}}.
Clemens Baur 92.1 143
Rüdger Hölzel 110.1 144 Vergleiche die obigen 4 Lösungsmöglichkeiten und erläutere die Unterschiede (Vor- und Nachteile) der jeweiligen Lösungsideen.
145
146 ||Lösungsmöglichkeit 1: Hilfsebene ||Lösungsmöglichkeit 2: Extremwertaufgabe
147 [[image:Moeglichkeit_1.png||width="250"]]||[[image:Moeglichkeit_2.png||width="250"]]
148 ||Lösungsmöglichkeit 3: Orthogonalität ||Lösungsmöglichkeit 4: Höhe eines Parallelogramms
149 [[image:Moeglichkeit_3.png||width="250"]]|| [[image:Moeglichkeit_4.png||width="250"]]||
Ansgar Wasmer-Rehberg 91.1 150 {{/aufgabe}}
151
Martina Wagner 65.1 152 {{aufgabe id="Abstand Punkt Gerade" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" zeit="10"}}
Martin Rathgeb 39.1 153 Gegeben ist der Punkt {{formula}}P(1|3|5){{/formula}} und die Gerade
154
155 {{formula}}
156 g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}.
157 {{/formula}}
158
159 (%class=abc%)
160 1. (((
161 Bestimme den Abstand {{formula}}d(P;g){{/formula}}.
162 )))
163 1. (((
164 Zeichne den Punkt {{formula}}P{{/formula}}, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} sowie drei weitere Punkte ein, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand haben wie {{formula}}P{{/formula}}.
165
166 Skizziere den geometrischen Ort aller Punkte mit diesem Abstand.
167 )))
168 1. (((
169 Beschreibe den geometrischen Ort aller Punkte, die von {{formula}}g{{/formula}} denselben Abstand wie {{formula}}P{{/formula}} haben, sowie den Ort aller Punkte, deren Abstand von {{formula}}g{{/formula}} doppelt so groß ist.
170 )))
171 {{/aufgabe}}
172
Martin Rathgeb 70.1 173 {{aufgabe id="Abstand als Minimalproblem" afb="II" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="15"}}
Martin Rathgeb 14.1 174 Die Punkte {{formula}}A{{/formula}} und {{formula}}B{{/formula}} legen eine Gerade {{formula}}g(A;B){{/formula}} fest, auf welcher der Punkt {{formula}}C{{/formula}} nicht liegt. Die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}C{{/formula}} legen eine Ebene {{formula}}E(A;B;C){{/formula}} fest, in welcher der Punkt {{formula}}P{{/formula}} nicht liegt. Betrachtet werden die drei Abstände
Martin Rathgeb 10.1 175
Martin Rathgeb 11.1 176 {{formula}}
177 d(P;A), \quad d(P;g(A;B)), \quad d(P;E(A;B;C)).
178 {{/formula}}
179
Martin Rathgeb 10.1 180 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 11.1 181 1. (((
Martin Rathgeb 25.1 182 Ordne die drei Abstände der Größe nach. Begründe deine Entscheidung ohne Rechnung. Zeige dazu: {{formula}}\{A\}\subset g(A;B)\subset E(A;B;C){{/formula}} und leite daraus eine Beziehung zwischen den drei Abständen her.
Martin Rathgeb 10.1 183 )))
Martin Rathgeb 11.1 184 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 185 Beschreibe jeden der drei Abstände als Minimierungsproblem der Form {{formula}}d(P;M)=\min\{\,|\overrightarrow{PX}| \mid X \in M\,\}{{/formula}}. Gib jeweils die passende Menge {{formula}}M{{/formula}} an.
Martin Rathgeb 10.1 186 )))
Martin Rathgeb 11.1 187 1. (((
188 Untersuche die Gleichheitsfälle:
189
190 * Wann gilt {{formula}}d(P;A)=d(P;g(A;B)){{/formula}}?
191 * Wann gilt {{formula}}d(P;g(A;B))=d(P;E(A;B;C)){{/formula}}?
192
Martin Rathgeb 10.1 193 Beschreibe die jeweilige Lage von {{formula}}P{{/formula}} geometrisch.
194 )))
Martin Rathgeb 11.1 195 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 196 Beschreibe für die drei Fälle den Punkt {{formula}}F\in M{{/formula}}, der den jeweiligen Abstand realisiert. Formuliere jeweils die geometrische Bedingung, die dieser Punkt erfüllt.
Martin Rathgeb 11.1 197 )))
198 1. (((
Martin Rathgeb 23.1 199 Erläutere folgende Aussage geometrisch:
Martin Rathgeb 11.1 200
Martin Rathgeb 10.1 201 {{formula}}
202 M_1\subset M_2 \Rightarrow d(P;M_2)\le d(P;M_1).
203 {{/formula}}
Martin Rathgeb 11.1 204 )))
Martin Rathgeb 10.1 205 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 13.1 206
Martin Rathgeb 70.1 207 {{aufgabe id="Abstandsproblem Drohne" afb="II" kompetenzen="K2,K3,K4,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="20"}}
Martin Rathgeb 13.1 208 Eine Drohne befindet sich im Punkt {{formula}}P(6\mid 4\mid 5){{/formula}}.
209
Martin Rathgeb 64.1 210 Eine Landefläche liegt in der Ebene {{formula}}E: z=0{{/formula}}. Eine Begrenzungslinie dieser Fläche wird durch die Gerade {{formula}}g:\ \vec{x}=\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}+r\begin{pmatrix}4\\2\\0\end{pmatrix}{{/formula}} beschrieben. Ein Referenzpunkt auf der Fläche ist {{formula}}A(2\mid 1\mid 0){{/formula}}.
Martin Rathgeb 13.1 211
212 (%class=abc%)
213 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 214 Fertige eine räumliche Skizze der Situation an. Zeichne die Ebene {{formula}}E{{/formula}} als Grundfläche, die Gerade {{formula}}g{{/formula}} in der Ebene sowie die Punkte {{formula}}P{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}. Markiere in deiner Skizze:
Martin Rathgeb 13.1 215 * die Verbindung {{formula}}PA{{/formula}},
216 * den kürzesten Abstand von {{formula}}P{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}},
217 * eine Verbindung von {{formula}}P{{/formula}} zur Geraden {{formula}}g{{/formula}}.
218 )))
219 1. (((
Martin Rathgeb 26.1 220 Bestimme den Abstand der Drohne zur Landefläche {{formula}}E{{/formula}}. Gib zusätzlich die Koordinaten des zugehörigen Lotfußpunkts {{formula}}F_E{{/formula}} an.
Martin Rathgeb 13.1 221 )))
222 1. (((
223 Bestimme den Abstand der Drohne zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}}.
224 Berechne dazu einen geeigneten Punkt {{formula}}F_g \in g{{/formula}}, der den Abstand realisiert.
225 )))
226 1. (((
227 Bestimme den Abstand der Drohne zum Referenzpunkt {{formula}}A{{/formula}}.
228 )))
229 1. (((
230 Vergleiche die drei berechneten Abstände miteinander.
231
Martin Rathgeb 19.1 232 Erläutere anhand deiner Ergebnisse, warum die Drohne der Landefläche näher ist als der Begrenzungslinie und dem Punkt A.)))
Martin Rathgeb 13.1 233 1. (((
234 Die Drohne soll sich so bewegen, dass der Abstand zur Begrenzungslinie {{formula}}g{{/formula}} möglichst schnell kleiner wird, ohne zunächst Höhe zu verlieren.
235
236 Beschreibe eine geeignete Bewegungsrichtung und begründe deine Wahl geometrisch.
237 )))
238 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 14.1 239
Martin Rathgeb 70.1 240 {{aufgabe id="Problemlösen durch Rückführung" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K4,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="15"}}
Martin Rathgeb 21.1 241 **Hinweis:** //Der Abstand zweier windschiefer Geraden ist kein eigener Inhalt des Bildungsplans. In den vorherigen Aufgaben wurden Abstände auf Punkt–Gerade–Ebene zurückgeführt. In dieser Aufgabe soll das neue Problem auf ein bereits bekanntes Abstandsproblem zurückgeführt werden.//
Martin Rathgeb 16.1 242
Martin Rathgeb 19.1 243 Gegeben seien zwei windschiefe Geraden {{formula}}g_1:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1{{/formula}} und {{formula}}g_2:\ \vec{x}=\vec{p}_2+s\vec{u}_2{{/formula}}.
Martin Rathgeb 16.1 244
245 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 28.1 246 1. (((Die Idee ist, eine Ebene zu konstruieren, die {{formula}}g_1{{/formula}} enthält und parallel zu {{formula}}g_2{{/formula}} ist. Zeige, dass die Ebene {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}} die Gerade {{formula}}g_1{{/formula}} enthält.
Martin Rathgeb 16.1 247 )))
Martin Rathgeb 21.1 248 1. (((Zeige, dass {{formula}}g_2{{/formula}} parallel zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} verläuft.
Martin Rathgeb 16.1 249 )))
Martin Rathgeb 28.1 250 1. (((Erkläre geometrisch, weshalb {{formula}}d(g_1;g_2)=d(g_2;E){{/formula}} gilt.
Martin Rathgeb 16.1 251 )))
Martin Rathgeb 29.1 252 1. (((Erkläre, weshalb der Abstand der Geraden {{formula}}g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} durch den Abstand eines beliebigen Punktes {{formula}}P_2\in g_2{{/formula}} zur Ebene {{formula}}E{{/formula}} bestimmt werden kann: {{formula}}d(g_2;E)=d(P_2;E){{/formula}}.
Martin Rathgeb 16.1 253 )))
Martin Rathgeb 28.1 254 1. (((Fasse die Rückführung zusammen: Es gilt {{formula}}d(g_1;g_2)=d(P_2;E){{/formula}} für {{formula}}E:\ \vec{x}=\vec{p}_1+r\vec{u}_1+t\vec{u}_2{{/formula}}. Beschreibe die verwendete Problemlösestrategie in einem Satz.
Martin Rathgeb 16.1 255 )))
256 {{/aufgabe}}
Dirk Tebbe 38.2 257
Martin Rathgeb 70.1 258 {{aufgabe id="Sonnenegel" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Baden Württemberg: berufliche Gymnasium, Abitur 2023 Teil 4 Vektorgeometrie" niveau="e" zeit="25"}}
Dirk Tebbe 39.3 259 Die Punkte {{formula}}A(2|2|4){{/formula}}, {{formula}}B(3|2|2){{/formula}} und {{formula}}C(4|5|3){{/formula}} sind die Eckpunkte eines über dem Boden ({{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene) aufgespannten ebenen Sonnensegels.
260 Zur Befestigung dient unter anderem ein Pfosten, der sich durch die Strecke {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 4,5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}; 0 \le t \le 1{{/formula}}, beschreiben lässt.
261 Eine Längeneinheit entspricht einem Meter.
262 (%class=abc%)
Dirk Tebbe 38.2 263
Dirk Tebbe 39.3 264 1. (((Geben Sie die Länge des Pfosten an.
265 )))
266 1. (((Zeigen Sie, dass das Sonnensegel in der Ebene mit der Gleichung {{formula}}2x_1-x_2+x_3=6{{/formula}} liegt.
Dirk Tebbe 40.1 267 Bestimmen Sie den Abstand des Sonnensegels zum Boden.
Dirk Tebbe 39.3 268 )))
269 1. (((Der Punkt C ist mit einem Seil an dem Pfosten befestigt. Beurteilen Sie, ob ein Seil der Länge 1,85 m dafür ausreichend ist.
270 )))
271 {{/aufgabe}}
Dirk Tebbe 38.2 272
Martin Rathgeb 70.1 273 {{aufgabe id="Dreiecksflächen" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Dirk Tebbe, Martin Rathgeb nach BW BG, Abitur 2025 Aufgabe 5 Vektorgeometrie" niveau="e" zeit="15"}}
Martin Rathgeb 56.1 274 Gegeben ist die Ebene {{formula}}E: 2x_1 − x_2 + 2x_3 = 4{{/formula}}. Ihre Spurpunkte bilden das Dreieck {{formula}}ABC{{/formula}}.
275
276 (%class=abc%)
277 1. Zeige, dass das Dreieck gleichschenklig ist.
Dirk Tebbe 56.2 278 1. Berechne den Umfang und die Fläche des Dreiecks.
Martin Rathgeb 56.1 279 1. Ermitte die Gleichung einer Geraden, die dieses Dreieck in zwei Teildreiecke mit gleichem Flächeninhalt zerlegt.
Martin Rathgeb 55.1 280 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 51.1 281
Martin Rathgeb 70.1 282 {{aufgabe id="Spiegelung an Punkt" afb="III" kompetenzen="K1,K2,K5,K6" quelle="Martin Rathgeb" niveau="e" zeit="16"}}
Martin Rathgeb 60.1 283 Gegeben sind die Punkte {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}B{{/formula}}, {{formula}}C{{/formula}} sowie ein Punkt {{formula}}S{{/formula}}. Untersuche die Spiegelung von {{formula}}A{{/formula}}, {{formula}}g=g(A;B){{/formula}} und {{formula}}E=\text{E}(A;B;C){{/formula}} an {{formula}}S{{/formula}} unter folgenden Aspekten.
Martin Rathgeb 55.1 284
Martin Rathgeb 51.1 285 (%class=abc%)
286 1. (((
Martin Rathgeb 58.1 287 Fertige eine Skizze der Situation an und bezeichne die Spiegelbilder mit {{formula}}A'{{/formula}}, {{formula}}g'{{/formula}} und {{formula}}E'{{/formula}}.
288 )))
289 1. (((
Martin Rathgeb 60.1 290 Beschreibe die Lage der Spiegelbilder. Verwende dafür z.B. die Stichworte: Mittelpunkt, Gerade durch zwei Punkte, Ebene durch drei Punkte, Parallelität.
Martin Rathgeb 51.1 291 )))
292 1. (((
Martin Rathgeb 58.1 293 Stelle die Spiegelbilder algebraisch dar:
Martin Rathgeb 55.1 294
Martin Rathgeb 61.1 295 * Gib eine Darstellung des Punktes {{formula}}A'{{/formula}} an.
Martin Rathgeb 58.1 296 * Gib eine Parameterdarstellung von {{formula}}g'{{/formula}} an.
297 * Gib eine Parameterdarstellung von {{formula}}E'{{/formula}} an.
Martin Rathgeb 51.1 298 )))
299 {{/aufgabe}}
Martin Rathgeb 68.1 300
Sebastian Schirmer 89.1 301 {{aufgabe id="Punkt mit vorgebenen Abstand bestimmen" afb="II" kompetenzen="K2,K4,K5" quelle="Sebastian Schirmer" zeit="5"}}
Sebastian Schirmer 89.2 302 Gegeben ist die Gerade {{formula}}g: \vec{x}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -3 \\ 1 \end{array}\right) + t \cdot \left(\begin{array}{c} 1 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right){{/formula}} mit {{formula}}t \in \mathbb{R}{{/formula}} und der Punkt {{formula}}P (-2|3|1){{/formula}}.
Sebastian Schirmer 89.1 303 Der Abstand des Punktes {{formula}}P{{/formula}} von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} beträgt 6 LE.
304
305 Bestimme einen Punkt {{formula}}Q{{/formula}}, der von der Geraden {{formula}}g{{/formula}} 2 LE entfernt ist.
306 {{/aufgabe}}
307
Martin Rathgeb 69.1 308 == Volumina ==
309
Martin Rathgeb 79.1 310 {{aufgabe id="Quader durch Punkte" afb="II" kompetenzen="K1,K4,K5,K6" quelle="Günther Beikert, Martin Rathgeb, nach IQB e.V. 2015 Teil A: Geometrie 1.1" zeit="20"}}
Martin Rathgeb 74.1 311 Gegeben sind die drei Punkte {{formula}}A (2|1|2),\ B (-1|2|0),\ C_t (4t|2t|-5t){{/formula}} mit {{formula}}t>0{{/formula}}.
Martin Rathgeb 68.1 312 (%class=abc%)
Martin Rathgeb 74.1 313 1. Zeichne die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_1{{/formula}} in ein Koordinatensystem.
314 1. Zeige, dass die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_t{{/formula}} für jedes {{formula}}t{{/formula}} zusammen mit dem Koordinatenursprung Eckpunkte eines Quaders sind.
Martin Rathgeb 75.1 315 1. Zeichne die Punkte {{formula}}A',\ B',\ C_1',\ O'{{/formula}}, die im Quader von Teilaufgabe b den Punkten {{formula}}A,\ B,\ C_1,\ O{{/formula}} gegenüber liegen, in das Koordinatensystem von Teilaufgabe a und berechne ihre Koordinaten.
Martin Rathgeb 74.1 316 1. Bestimme für die Punkte {{formula}}A,\ B,\ C_1{{/formula}} das Volumen des Quaders aus Teilaufgabe b.
317 1. Untersuche, ob es ein {{formula}}t{{/formula}} gibt, sodass der Quader aus Teilaufgabe b das Volumen 15 hat.
Martin Rathgeb 68.1 318 {{/aufgabe}}
Sebastian Schirmer 80.1 319
320
Anna Kukin 82.2 321 {{aufgabe id="Spiegelung eines Punktes an einer Ebene" afb="I,II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2021MerhoehtAAGLAA211_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
Anna Kukin 81.1 322 Gegeben sind der Punkt {{formula}}P(-1| 7 | 2){{/formula}} und die Ebene {{formula}}E:\ x_1 + 3x_2 = 0{{/formula}}.
323 (%class=abc%)
324 1. Zeige, dass {{formula}}P{{/formula}} nicht in {{formula}}E{{/formula}} liegt.
325 1. Bestimme die Koordinaten des Punkts, der entsteht, wenn {{formula}}P{{/formula}} an {{formula}}E{{/formula}} gespiegelt
326 wird.
327 {{/aufgabe}}
Anna Kukin 83.1 328
Anna Kukin 84.1 329 {{aufgabe id="Spiegelung an einer Ebene" afb="I,II, III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2023MerhoehtAAGLAA222_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
Anna Kukin 83.1 330 Gegeben sind die Geraden {{formula}} g: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} und {{formula}} h: \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}r, s \in \mathbb{R}{{/formula}}.
331
332 (%class=abc%)
333 1. Begründe, dass {{formula}} g {{/formula}} und {{formula}} h {{/formula}} nicht identisch sind.
334 1. Die Gerade {{formula}} g {{/formula}} soll durch Spiegelung an einer Ebene auf die Gerade {{formula}} h {{/formula}} abgebildet werden. Bestimme eine Gleichung einer geeigneten Ebene und erläutere dein Vorgehen.
335 {{/aufgabe}}
Anna Kukin 85.1 336
Anna Kukin 85.2 337 {{aufgabe id="Orthogonalität zur Ebene und Spiegelung" afb="I,II, III" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://www.iqb.hu-berlin.de/media/exercise_files/Abituraufgaben_Mathematik/2025MgrundlegendAAGLAA221_Aufgabe.pdf]]" zeit="15" niveau="g" tags="iqb" cc="BY"}}
Anna Kukin 85.1 338 Die Ebene {{formula}} E {{/formula}} wird durch die Gleichung {{formula}}\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} + r \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}{{/formula}} mit {{formula}}r, s \in \mathbb{R} {{/formula}} beschrieben.
339
340 (%class=abc%)
341 1. Zeige, dass der Vektor {{formula}}\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} senkrecht zur Ebene {{formula}} E {{/formula}} steht.
342 1. Bestimme die Koordinaten eines Punkts {{formula}} P {{/formula}} mit folgender Eigenschaft:
343 Wird der Punkt {{formula}} P {{/formula}} an der Ebene {{formula}} E {{/formula}} gespiegelt, so hat der entstehende Punkt vom Punkt {{formula}} P {{/formula}} den Abstand 20.
344 {{/aufgabe}}
Anna Kukin 87.1 345
346
347 {{aufgabe id="Volumen von Quadern" afb="I,II" kompetenzen="K1, K2, K5" quelle="[[IQB e.V.>>https://mathe-arbeitsheft.zsl-bw.de/xwiki/bin/edit/Jahrgangsstufen/BPE_16_6/WebHome]]" zeit="15" niveau="e" tags="iqb" cc="BY"}}
348 [[image:Quader.png||width="120" style="float: right"]]
349 Die Vektoren {{formula}} \vec{a} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} {{/formula}}, {{formula}} \vec{b} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} {{/formula}} und {{formula}} \vec{c}_t = \begin{pmatrix} 4t \\ 2t \\ -5t \end{pmatrix} {{/formula}} spannen für jeden Wert von {{formula}} t \in \mathbb{R} \setminus \{0\} {{/formula}} einen Körper auf. Die Abbildung
350 zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von {{formula}}t{{/formula}}.
351
352 (%class=abc%)
353 1. Zeige, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
354 1. Bestimme diejenigen Werte von {{formula}} t {{/formula}}, für die der zugehörige Quader das Volumen 15 besitzt.
355 {{/aufgabe}}